Penggunaan Fungsi Utilitas Quasiconcave dalam Ekonomi

"Quasiconcave" adalah konsep matematika yang memiliki beberapa aplikasi di bidang ekonomi. Untuk memahami pentingnya aplikasi istilah dalam bidang ekonomi, akan bermanfaat untuk memulai dengan pertimbangan singkat tentang asal-usul dan makna istilah dalam matematika.

Istilah "quasiconcave" diperkenalkan pada awal abad ke-20 dalam karya John von Neumann, Werner Fenchel dan Bruno de Finetti, semuanya terkenal matematikawan dengan minat dalam teori dan matematika terapan, penelitian mereka di bidang-bidang seperti teori probabilitas, teori permainan dan topologi akhirnya meletakkan dasar untuk bidang penelitian independen yang dikenal sebagai "cembung umum". Sedangkan istilah "quasiconcave: memiliki aplikasi di banyak bidang, termasuk ekonomi, itu berasal dari bidang cembung umum sebagai konsep topologi.

Wayne State Mathematics, penjelasan singkat dan mudah dimengerti dari profesor Robert Bruner tentang topologi dimulai dengan pemahaman bahwa topologi adalah bentuk khusus

Ini terdengar agak aneh, tetapi pertimbangkan bahwa jika Anda mengambil lingkaran dan mulai memencet dari empat arah, dengan meremasnya dengan hati-hati, Anda dapat menghasilkan kotak. Dengan demikian, kuadrat dan lingkaran setara secara topologi. Demikian pula, jika Anda membengkokkan satu sisi segitiga sampai Anda telah membuat sudut lain di suatu sisi di sepanjang sisi itu, dengan lebih banyak menekuk, mendorong dan menarik, Anda dapat mengubah segitiga menjadi persegi. Sekali lagi, segitiga dan bujur sangkar setara secara topologi.

Quasiconcave adalah properti topologi yang mencakup cekung. Jika Anda membuat grafik fungsi matematika dan grafik tersebut kurang lebih terlihat seperti mangkuk yang dibuat buruk dengan beberapa tonjolan di dalamnya tetapi masih memiliki depresi di tengah dan dua ujung yang miring ke atas, itu adalah fungsi quasiconcave.

Ternyata fungsi cekung hanyalah contoh spesifik dari fungsi quasiconcave — fungsi tanpa benjolan. Dari sudut pandang orang awam (ahli matematika memiliki cara yang lebih keras untuk mengekspresikannya), fungsi quasiconcave termasuk semua fungsi cekung dan juga semua fungsi yang keseluruhannya cekung tetapi mungkin memiliki bagian yang sebenarnya cembung. Sekali lagi, bayangkan sebuah mangkuk yang dibuat dengan beberapa tonjolan dan tonjolan di dalamnya.

Salah satu cara yang secara matematis mewakili preferensi konsumen (dan juga banyak perilaku lainnya) adalah dengan a fungsi utilitas. Jika, misalnya, konsumen lebih menyukai barang A daripada barang B, fungsi utilitas U menyatakan preferensi itu sebagai:

U (A)> U (B)

Jika Anda membuat grafik fungsi ini untuk satu set konsumen dan barang dunia nyata, Anda mungkin menemukan bahwa grafik itu terlihat seperti mangkuk — daripada garis lurus, ada keruntuhan di tengahnya. Kedok ini umumnya mewakili keengganan konsumen terhadap risiko. Sekali lagi, di dunia nyata, keengganan ini tidak konsisten: grafik preferensi konsumen terlihat agak seperti mangkuk yang tidak sempurna, satu dengan sejumlah benjolan di dalamnya. Alih-alih menjadi cekung, maka, umumnya cekung tetapi tidak sempurna sehingga pada setiap titik dalam grafik, yang mungkin memiliki bagian kecil dari konveksitas.

Dengan kata lain, contoh grafik preferensi konsumen kami (seperti banyak contoh dunia nyata) adalah quasiconcave. Mereka memberi tahu siapa pun yang ingin tahu lebih banyak tentang perilaku konsumen — para ekonom dan perusahaan yang menjual barang-barang konsumen, misalnya — di mana dan bagaimana pelanggan merespons terhadap perubahan dalam jumlah atau biaya yang baik.