Cara Menggunakan 'If and Only If' dalam Matematika

Saat membaca tentang statistik dan matematika, satu frasa yang muncul secara teratur adalah "jika dan hanya jika." Frasa ini terutama muncul dalam pernyataan teorema atau bukti matematika. Tapi apa, tepatnya, maksud pernyataan ini?

Untuk memahami "jika dan hanya jika," pertama-tama kita harus tahu apa yang dimaksud dengan pernyataan bersyarat. Pernyataan kondisional adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan lainnya, yang akan kami tunjukkan dengan P dan Q. Untuk membentuk pernyataan bersyarat, kita bisa mengatakan "jika P maka Q."

Berikut ini adalah contoh pernyataan semacam ini:

• Jika hujan di luar, maka saya membawa payung saya berjalan.
• Jika Anda belajar dengan giat, maka Anda akan mendapat nilai A.
• Jika n habis dibagi 4, lalu n habis dibagi 2.

Tiga pernyataan lain terkait dengan pernyataan bersyarat apa pun. Ini disebut berkomunikasi, terbalik, dan kontrapositif. Kami membentuk pernyataan ini dengan mengubah urutan P dan Q dari kondisional asli dan menyisipkan kata "tidak" untuk invers dan contrapositive.

Kita hanya perlu mempertimbangkan yang sebaliknya di sini. Pernyataan ini diperoleh dari aslinya dengan mengatakan "jika Q maka P." Misalkan kita mulai dengan syarat "jika hujan di luar, maka saya bawa payung saya berjalan-jalan. " Kebalikan dari pernyataan ini adalah “jika saya membawa payung saya saat berjalan, maka hujan di luar."

Kita hanya perlu mempertimbangkan contoh ini untuk menyadari bahwa syarat asli tidak secara logis sama dengan kebalikannya. Kebingungan dari dua bentuk pernyataan ini dikenal sebagai a kesalahan sebaliknya. Orang bisa membawa payung berjalan-jalan meskipun mungkin tidak turun hujan di luar.

Sebagai contoh lain, kami mempertimbangkan persyaratan "Jika angka dapat dibagi 4, maka dapat dibagi 2." Pernyataan ini jelas benar. Namun, pernyataan ini berbicara "Jika suatu angka dapat dibagi 2, maka dapat dibagi 4" adalah salah. Kita hanya perlu melihat angka seperti 6. Meskipun 2 membagi angka ini, 4 tidak. Meskipun pernyataan asli itu benar, kebalikannya tidak.

Ini membawa kita pada pernyataan bikondisional, yang juga dikenal sebagai pernyataan "jika dan hanya jika". Pernyataan bersyarat tertentu juga memiliki percakapan yang benar. Dalam hal ini, kita dapat membentuk apa yang dikenal sebagai pernyataan bikondisi. Pernyataan bikondisional memiliki bentuk:

"Jika P maka Q, dan jika Q maka P."

Sejak ini konstruksi agak canggung, terutama ketika P dan Q adalah pernyataan logis mereka sendiri, kami menyederhanakan pernyataan bikondisional dengan menggunakan frasa "jika dan hanya jika." Daripada mengatakan "jika P lalu Q, dan jika Q maka P" kita malah mengatakan "P jika dan hanya jika Q." Konstruksi ini menghilangkan beberapa redundansi.

Untuk contoh frasa “jika dan hanya jika” yang melibatkan statistik, tidak terlihat lagi fakta tentang sampel standar deviasi. Standar deviasi sampel dari kumpulan data sama dengan nol jika dan hanya jika semua nilai data identik.

Kami memecah pernyataan bikondisional ini menjadi kondisional dan kebalikannya. Kemudian kita melihat bahwa pernyataan ini memiliki arti sebagai berikut:

• Jika standar deviasi adalah nol, maka semua nilai data identik.
• Jika semua nilai data identik, maka standar deviasi sama dengan nol.

Jika kita berusaha membuktikan bikondisional, maka sebagian besar waktu kita akhirnya membelahnya. Ini membuat bukti kami memiliki dua bagian. Salah satu bagian yang kami buktikan adalah "jika P maka Q." Bagian lain dari bukti yang kita butuhkan adalah "jika Q maka P."

Pernyataan Biconditional terkait dengan kondisi yang diperlukan dan memadai. Pertimbangkan pernyataan “jika hari ini Paskah, maka besok adalah hari Senin. " Hari ini menjadi Paskah sudah cukup untuk besok menjadi Senin, namun, itu tidak perlu. Hari ini bisa jadi hari Minggu selain Paskah, dan besok masih hari Senin.

Ungkapan "jika dan hanya jika" digunakan cukup umum dalam penulisan matematika yang memiliki singkatan sendiri. Terkadang bikondisional dalam pernyataan frasa "jika dan hanya jika" disingkat menjadi "iff." Dengan demikian pernyataan "P jika dan hanya jika Q" menjadi "P iff Q."