Apa Ketimpangan Markov?

Ketidaksetaraan Markov adalah hasil yang membantu dalam probabilitas yang memberikan informasi tentang a distribusi kemungkinan. Aspek yang luar biasa tentang hal itu adalah bahwa ketidaksetaraan berlaku untuk setiap distribusi dengan nilai-nilai positif, tidak peduli apa fitur lain yang dimilikinya. Ketidaksetaraan Markov memberikan batas atas untuk persentase distribusi yang berada di atas nilai tertentu.

Ketidaksetaraan Markov mengatakan bahwa untuk variabel acak positif X dan apapun yang positif bilangan realSebuah, probabilitas itu X lebih besar atau sama dengan Sebuah kurang dari atau sama dengan nilai yang diharapkan dari X dibagi dengan Sebuah.

Deskripsi di atas dapat dinyatakan lebih ringkas menggunakan notasi matematika. Dalam simbol, kami menulis ketimpangan Markov sebagai:

P (X ≥ Sebuah) ≤ E( X) /Sebuah

Untuk menggambarkan ketidaksetaraan, anggaplah kita memiliki distribusi dengan nilai-nilai non-negatif (seperti a distribusi chi-square

• Untuk Sebuah = 10 Ketidaksetaraan Markov mengatakan itu P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Jadi ada kemungkinan 30% itu X lebih besar dari 10.
• Untuk Sebuah = 30 Ketidaksetaraan Markov mengatakan itu P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Jadi ada kemungkinan 10% itu X lebih besar dari 30.
• Untuk Sebuah = 3 Ketidaksetaraan Markov mengatakan itu P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Peristiwa dengan probabilitas 1 = 100% pasti. Jadi ini mengatakan bahwa beberapa nilai variabel acak lebih besar atau sama dengan 3. Ini seharusnya tidak terlalu mengejutkan. Jika semua nilai X kurang dari 3, maka nilai yang diharapkan juga akan kurang dari 3.
• Sebagai nilai Sebuah meningkat, hasil bagi E(X) /Sebuah akan menjadi lebih kecil dan lebih kecil. Ini berarti probabilitasnya sangat kecil X sangat, sangat besar. Sekali lagi, dengan nilai yang diharapkan dari 3, kami tidak akan berharap akan ada banyak distribusi dengan nilai-nilai yang sangat besar.

Jika kita tahu lebih banyak tentang distribusi yang sedang kita kerjakan, maka kita biasanya dapat meningkatkan ketimpangan Markov. Nilai penggunaannya adalah ia berlaku untuk distribusi apa pun dengan nilai-nilai non-negatif.

Misalnya, jika kita tahu rata-rata tinggi siswa di sebuah sekolah dasar. Ketidaksetaraan Markov memberi tahu kita bahwa tidak lebih dari seperenam siswa dapat memiliki tinggi lebih dari enam kali tinggi rata-rata.

Penggunaan utama ketidaksetaraan Markov lainnya adalah untuk membuktikan Ketidaksetaraan Chebyshev. Fakta ini menghasilkan nama "ketimpangan Chebyshev" yang diterapkan pada ketimpangan Markov juga. Kebingungan penamaan ketidaksetaraan juga karena keadaan historis. Andrey Markov adalah murid Pafnuty Chebyshev. Karya Chebyshev berisi ketidaksetaraan yang dikaitkan dengan Markov.