Kemungkinan Straight Kecil di Yahtzee dalam Satu Roll

Yahtzee adalah permainan dadu yang menggunakan lima dadu enam sisi standar. Di setiap belokan, pemain diberikan tiga gulungan untuk mendapatkan beberapa tujuan yang berbeda. Setelah setiap lemparan, pemain dapat memutuskan dadu mana (jika ada) yang harus dipertahankan dan mana yang akan diulang. Tujuannya mencakup berbagai macam kombinasi, banyak di antaranya diambil dari poker. Setiap jenis kombinasi yang berbeda bernilai jumlah poin yang berbeda.

Dua jenis kombinasi yang harus digulung pemain disebut lurus: lurus kecil dan lurus besar. Seperti lurus poker, kombinasi ini terdiri dari dadu berurutan. Jalanan kecil mempekerjakan empat dari lima dadu dan lurus besar gunakan semua lima dadu. Karena keacakan dari pengguliran dadu, probabilitas dapat digunakan untuk menganalisis seberapa besar kemungkinan untuk menggulung lurus kecil dalam gulungan tunggal.

Kami berasumsi bahwa dadu yang digunakan adil dan tidak tergantung satu sama lain. Jadi ada ruang sampel seragam yang terdiri dari semua gulungan yang mungkin dari lima dadu. Meskipun

Karena kami bekerja dengan a seragamruang sampel, perhitungan probabilitas kami menjadi perhitungan beberapa masalah penghitungan. Peluang straight kecil adalah jumlah cara untuk menggulung straight kecil, dibagi dengan jumlah hasil dalam ruang sampel.

Sangat mudah untuk menghitung jumlah hasil dalam ruang sampel. Kami menggulirkan lima dadu dan masing-masing dadu ini dapat memiliki satu dari enam hasil yang berbeda. Aplikasi dasar dari prinsip multiplikasi memberi tahu kita bahwa ruang sampel memiliki 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 hasil. Angka ini akan menjadi penyebut dari fraksi yang kita gunakan untuk probabilitas kita.

Selanjutnya, kita perlu tahu berapa banyak cara untuk menggulung lurus kecil. Ini lebih sulit daripada menghitung ukuran ruang sampel. Kita mulai dengan menghitung berapa banyak lurus yang mungkin terjadi.

Lurus kecil lebih mudah untuk digulung daripada lurus besar, namun, lebih sulit untuk menghitung jumlah cara menggulung lurus jenis ini. Lurus kecil terdiri dari empat angka berurutan. Karena ada enam wajah dadu yang berbeda, ada tiga kemungkinan jalan lurus kecil: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} dan {3, 4, 5, 6}. Kesulitan timbul dalam mempertimbangkan apa yang terjadi dengan dadu kelima. Dalam setiap kasus ini, dadu kelima harus berupa angka yang tidak membuat garis lurus besar. Misalnya, jika empat dadu pertama adalah 1, 2, 3, dan 4, dadu kelima bisa berupa apa pun selain 5. Jika yang kelima mati adalah 5, maka kita akan memiliki lurus besar daripada lurus kecil.

Ini berarti bahwa ada lima kemungkinan gulungan yang memberikan straight kecil {1, 2, 3, 4}, lima kemungkinan gulungan yang memberikan straight kecil {3, 4, 5, 6} dan empat kemungkinan roll yang memberikan straight kecil {2, 3, 4, 5}. Kasing terakhir ini berbeda karena menggulung 1 atau 6 untuk cetakan kelima akan mengubah {2, 3, 4, 5} menjadi lurus besar. Ini berarti bahwa ada 14 cara berbeda yang dapat diberikan oleh lima dadu lurus kecil.

Sekarang kita menentukan jumlah cara yang berbeda untuk melempar satu set dadu tertentu yang memberi kita garis lurus. Karena kita hanya perlu tahu berapa banyak cara untuk melakukan ini, kita dapat menggunakan beberapa teknik penghitungan dasar.

Dari 14 cara berbeda untuk mendapatkan jalan lurus kecil, hanya dua dari ini {1,2,3,4,6} dan {1,3,4,5,6} yang ditetapkan dengan elemen yang berbeda. Ada 5! = 120 cara untuk menggulung masing-masing dengan total 2 x 5! = 240 lurus kecil.

12 cara lain untuk memiliki straight kecil secara teknis multiset karena semuanya mengandung elemen berulang. Untuk satu multiset tertentu, seperti [1,1,2,3,4], kami akan menghitung jumlah cara yang berbeda untuk menggulung ini. Pikirkan dadu sebagai lima posisi berturut-turut:

• Ada C (5,2) = 10 cara untuk menempatkan dua elemen berulang di antara lima dadu.
• Ada 3! = 6 cara untuk mengatur tiga elemen yang berbeda.

Dengan prinsip penggandaan, ada 6 x 10 = 60 cara berbeda untuk melempar dadu 1,1,2,3,4 dalam satu roll.

Ada 60 cara untuk menggulung satu lurus kecil dengan mati kelima khusus ini. Karena ada 12 multiset yang memberikan daftar lima dadu yang berbeda, ada 60 x 12 = 720 cara untuk menggulung lurus kecil di mana dua dadu cocok.

Totalnya ada 2 x 5! + 12 x 60 = 960 cara menggulung lurus kecil.

Sekarang kemungkinan menggulung lurus kecil adalah perhitungan pembagian sederhana. Karena ada 960 cara berbeda untuk menggulung lurus kecil dalam satu gulungan dan ada 7776 gulungan lima dadu mungkin, probabilitas menggulung lurus kecil adalah 960/7776, yang mendekati 1/8 dan 12.3%.

Tentu saja, itu lebih mungkin daripada tidak bahwa gulungan pertama tidak lurus. Jika ini yang terjadi, maka kita diperbolehkan dua gulungan lagi membuat lurus kecil jauh lebih mungkin. Probabilitas ini jauh lebih rumit untuk ditentukan karena semua situasi yang mungkin perlu dipertimbangkan.