Kami belajar cukup awal dalam karir matematika kami bahwa faktorial, didefinisikan untuk bilangan bulat non-negatif n, adalah cara untuk menggambarkan multiplikasi berulang. Ini dilambangkan dengan menggunakan tanda seru. Sebagai contoh:
Satu-satunya pengecualian untuk definisi ini adalah nol faktorial, di mana 0! = 1. Ketika kita melihat nilai-nilai ini untuk faktorial, kita bisa berpasangan n dengan n!. Ini akan memberi kita poin (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), dan seterusnya di.
Definisi fungsi gamma sangat kompleks. Ini melibatkan formula yang terlihat rumit yang terlihat sangat aneh. Fungsi gamma menggunakan beberapa kalkulus dalam definisinya, serta jumlah e Tidak seperti fungsi yang lebih dikenal seperti fungsi polinomial atau trigonometri, fungsi gamma didefinisikan sebagai integral yang tidak tepat dari fungsi lain.
Definisi fungsi gamma dapat digunakan untuk menunjukkan sejumlah identitas. Salah satu yang paling penting dari ini adalah bahwa Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Kita dapat menggunakan ini, dan fakta bahwa Γ (1) = 1 dari perhitungan langsung:
Tetapi kita tidak perlu hanya memasukkan bilangan bulat ke dalam fungsi gamma. Setiap bilangan kompleks yang bukan bilangan bulat negatif berada dalam domain fungsi gamma. Ini berarti bahwa kita dapat memperluas faktorial ke angka selain bilangan bulat negatif. Dari nilai-nilai ini, salah satu hasil yang paling terkenal (dan mengejutkan) adalah bahwa Γ (1/2) = √π.
Hasil lain yang mirip dengan yang terakhir adalah bahwa Γ (1/2) = -2π. Memang, fungsi gamma selalu menghasilkan output dari kelipatan akar kuadrat dari pi ketika kelipatan ganjil dari 1/2 dimasukkan ke dalam fungsi.
Fungsi gamma muncul dalam banyak bidang matematika yang tampaknya tidak berhubungan. Secara khusus, generalisasi faktorial yang disediakan oleh fungsi gamma sangat membantu dalam beberapa masalah kombinatorik dan probabilitas. Beberapa distribusi probabilitas didefinisikan secara langsung dalam hal fungsi gamma. Sebagai contoh, distribusi gamma dinyatakan berdasarkan fungsi gamma. Distribusi ini dapat digunakan untuk memodelkan interval waktu antara gempa bumi. Distribusi t siswa, yang dapat digunakan untuk data di mana kita memiliki standar deviasi populasi yang tidak diketahui, dan distribusi chi-square juga didefinisikan dalam hal fungsi gamma.