Beberapa teorema dalam probabilitas dapat disimpulkan dari aksioma probabilitas. Teorema ini dapat diterapkan untuk menghitung probabilitas yang mungkin ingin kita ketahui. Salah satu hasil tersebut dikenal sebagai aturan komplemen. Pernyataan ini memungkinkan kita untuk menghitung probabilitas suatu peristiwaSEBUAH dengan mengetahui probabilitas komplemen SEBUAHC. Setelah menyatakan aturan pelengkap, kita akan melihat bagaimana hasil ini dapat dibuktikan.
Aturan Pelengkap
Pelengkap acara SEBUAH dilambangkan dengan SEBUAHC. Pelengkap dari SEBUAH adalah set semua elemen dalam set universal, atau ruang sampel S, itu bukan elemen dari himpunan SEBUAH.
Aturan komplemen dinyatakan oleh persamaan berikut:
P (SEBUAHC) = 1 - P (SEBUAH)
Di sini kita melihat bahwa probabilitas suatu peristiwa dan probabilitas komplemennya harus berjumlah 1.
Bukti Peraturan Pelengkap
Untuk membuktikan aturan komplemen, kita mulai dengan aksioma probabilitas. Pernyataan-pernyataan ini diasumsikan tanpa bukti. Kita akan melihat bahwa mereka dapat digunakan secara sistematis untuk membuktikan pernyataan kita tentang kemungkinan pelengkap suatu peristiwa.
- Aksioma pertama probabilitas adalah bahwa probabilitas kejadian apa pun adalah nonnegatif bilangan real.
- Aksioma kedua probabilitas adalah bahwa probabilitas seluruh ruang sampel S adalah satu. Secara simbolis kita menulis P (S) = 1.
- Aksioma ketiga probabilitas menyatakan bahwa If SEBUAH dan B saling eksklusif (artinya mereka memiliki persimpangan kosong), maka kami menyatakan probabilitas penyatuan acara ini sebagai P (SEBUAH U B ) = P (SEBUAH) + P (B).
Untuk aturan pelengkap, kita tidak perlu menggunakan aksioma pertama dalam daftar di atas.
Untuk membuktikan pernyataan kami, kami mempertimbangkan acara tersebut SEBUAHdan SEBUAHC. Dari teori himpunan, kita tahu bahwa dua himpunan ini memiliki persimpangan kosong. Ini karena suatu elemen tidak dapat secara bersamaan berada di keduanya SEBUAH dan tidak di SEBUAH. Karena ada persimpangan yang kosong, kedua perangkat ini adalah saling eksklusif.
Persatuan dua peristiwa SEBUAH dan SEBUAHC juga penting. Ini merupakan peristiwa lengkap, yang berarti bahwa Persatuan semua peristiwa ini adalah semua ruang sampel S.
Fakta-fakta ini, dikombinasikan dengan aksioma memberi kita persamaan
1 = P (S) = P (SEBUAH U SEBUAHC) = P (SEBUAH) + P (SEBUAHC) .
Kesetaraan pertama adalah karena aksioma probabilitas kedua. Kesetaraan kedua adalah karena peristiwa SEBUAH dan SEBUAHC lengkap. Kesetaraan ketiga adalah karena aksioma probabilitas ketiga.
Persamaan di atas dapat disusun kembali menjadi bentuk yang kami nyatakan di atas. Yang harus kita lakukan adalah mengurangi probabilitas SEBUAH dari kedua sisi persamaan. Jadi
1 = P (SEBUAH) + P (SEBUAHC)
menjadi persamaan
P (SEBUAHC) = 1 - P (SEBUAH).
Tentu saja, kami juga dapat mengungkapkan aturan dengan menyatakan bahwa:
P (SEBUAH) = 1 - P (SEBUAHC).
Ketiga persamaan ini adalah cara yang setara untuk mengatakan hal yang sama. Kami melihat dari bukti ini bagaimana hanya dua aksioma dan beberapa teori himpunan yang dapat membantu kami membuktikan pernyataan baru tentang probabilitas.