Statistik ringkasan seperti median, kuartil pertama dan kuartil ketiga adalah pengukuran posisi. Ini karena angka-angka ini menunjukkan di mana proporsi tertentu dari distribusi data berada. Misalnya, median adalah posisi tengah dari data yang sedang diselidiki. Setengah dari data memiliki nilai kurang dari median. Demikian pula, 25% dari data memiliki nilai kurang dari kuartil pertama dan 75% dari data memiliki nilai kurang dari kuartil ketiga.
Konsep ini dapat digeneralisasi. Salah satu cara untuk melakukan ini adalah dengan mempertimbangkan persentil. Persentil ke-90 menunjukkan titik di mana 90% persen data memiliki nilai kurang dari angka ini. Lebih umum, halpersentilnya adalah angkanya n untuk itu hal% dari data kurang dari n.
Variabel Acak Kontinu
Meskipun statistik urutan median, kuartil pertama, dan kuartil ketiga biasanya dimasukkan dalam a pengaturan dengan set data diskrit, statistik ini juga dapat didefinisikan untuk acak kontinu variabel. Karena kami bekerja dengan distribusi berkelanjutan, kami menggunakan integral. Itu halpersentil adalah angka n seperti yang:
∫-₶nf ( x ) dx = hal/100.
Sini f ( x ) adalah fungsi kepadatan probabilitas. Dengan demikian kita dapat memperoleh persentil apa pun yang kita inginkan untuk a kontinu distribusi.
Kuantitas
Generalisasi lebih lanjut adalah untuk mencatat bahwa statistik pesanan kami membagi distribusi yang sedang kami tangani. Median membagi dua set data, dan median, atau persentil ke-50 dari distribusi kontinu membagi distribusi menjadi setengah dalam hal luas. Kuartil pertama, median dan partisi kuartil ketiga data kami menjadi empat bagian dengan jumlah yang sama di masing-masing. Kita dapat menggunakan integral di atas untuk mendapatkan persentil ke-25, ke-50 dan ke-75, dan membagi distribusi kontinu menjadi empat bagian dari area yang sama.
Kami dapat menggeneralisasi prosedur ini. Pertanyaan yang bisa kita mulai adalah diberi nomor alami n, bagaimana kita dapat membagi distribusi suatu variabel menjadi n potongan berukuran sama? Ini berbicara langsung dengan gagasan kuantil.
Itu n kuantil untuk kumpulan data ditemukan kira-kira dengan memberi peringkat data dalam urutan dan kemudian membelah peringkat ini n - 1 titik dengan jarak yang sama pada interval.
Jika kita memiliki fungsi kerapatan probabilitas untuk variabel acak kontinu, kita menggunakan integral di atas untuk menemukan kuantil. Untuk n kuantil, kami ingin:
- Yang pertama memiliki 1 /n dari area distribusi di sebelah kiri itu.
- Yang kedua memiliki 2 /n dari area distribusi di sebelah kiri itu.
- Itu rth untuk memiliki r/n dari area distribusi di sebelah kiri itu.
- Yang terakhir memiliki (n - 1)/n dari area distribusi di sebelah kiri itu.
Kami melihat bahwa untuk setiap bilangan alami n, itu n kuantil sesuai dengan 100r/npersentil ke-5, di mana r dapat berupa bilangan asli dari 1 hingga n - 1.
Kuantitas Umum
Jenis kuantil tertentu digunakan cukup umum untuk memiliki nama tertentu. Di bawah ini adalah daftar ini:
- 2 kuantil disebut median
- 3 kuantil disebut tercile
- Keempat kuantil disebut kuartil
- Kelima kuantil disebut kuintil
- 6 kuantil disebut sextile
- 7 kuantil disebut septil
- 8 kuantil disebut oktile
- 10 kuantil disebut desil
- 12 kuantil disebut duodecile
- 20 kuantil disebut vigintil
- 100 kuantil disebut persentil
- 1000 kuantil disebut permilles
Tentu saja, kuantil lain ada di luar yang ada dalam daftar di atas. Banyak kali kuantil spesifik yang digunakan cocok dengan ukuran sampel dari kontinu distribusi.
Penggunaan Kuantil
Selain menentukan posisi kumpulan data, kuantil juga membantu dengan cara lain. Misalkan kita memiliki sampel acak sederhana dari suatu populasi, dan distribusi populasinya tidak diketahui. Untuk membantu menentukan apakah suatu model, seperti distribusi normal atau distribusi Weibull cocok untuk populasi yang kami sampel, kami dapat melihat kuantil dari data kami dan model tersebut.
Dengan mencocokkan kuantil dari data sampel kami dengan kuantil dari tertentu distribusi kemungkinan, hasilnya adalah kumpulan data berpasangan. Kami memplot data ini dalam sebar sebaran, yang dikenal sebagai plot kuantil-kuantil atau plot q-q. Jika scatterplot yang dihasilkan kira-kira linier, maka modelnya cocok untuk data kami.