Satu hal yang hebat tentang matematika adalah cara bidang-bidang yang tampaknya tidak berhubungan dari mata pelajaran bersatu dengan cara yang mengejutkan. Salah satu contohnya adalah penerapan ide dari kalkulus ke kurva lonceng. Alat dalam kalkulus yang dikenal sebagai turunan digunakan untuk menjawab pertanyaan berikut. Di mana titik belok pada grafik fungsi kepadatan probabilitas untuk normal distribusi?
Kurva memiliki berbagai fitur yang dapat diklasifikasikan dan dikategorikan. Satu item yang berkaitan dengan kurva yang dapat kita pertimbangkan adalah apakah grafik suatu fungsi meningkat atau menurun. Fitur lain berkaitan dengan sesuatu yang dikenal sebagai cekung. Ini kira-kira dapat dianggap sebagai arah yang dihadapi sebagian kurva. Konkavitas yang lebih formal adalah arah kelengkungan.
Sebagian dari kurva dikatakan cekung jika berbentuk seperti huruf U. Sebagian dari kurva cekung ke bawah jika berbentuk seperti berikut ∩. Sangat mudah untuk mengingat seperti apa ini jika kita berpikir tentang gua yang membuka ke atas untuk cekung ke atas atau ke bawah untuk cekung ke bawah. Titik belok adalah di mana kurva mengubah cekung. Dengan kata lain itu adalah titik di mana kurva bergerak dari cekung ke cekung ke bawah, atau sebaliknya.
Dalam kalkulus, turunan adalah alat yang digunakan dalam berbagai cara. Sementara penggunaan derivatif yang paling terkenal adalah untuk menentukan kemiringan garis tangen ke kurva pada titik tertentu, ada aplikasi lain. Salah satu aplikasi ini ada hubungannya dengan menemukan titik belok grafik fungsi.
Jika grafik y = f (x) memiliki titik belok di x = a, kemudian turunan kedua dari f dievaluasi pada Sebuah adalah nol. Kami menulis ini dalam notasi matematika sebagai f ’(a) = 0. Jika turunan kedua dari suatu fungsi adalah nol pada suatu titik, ini tidak secara otomatis menyiratkan bahwa kami telah menemukan titik belok. Namun, kita dapat mencari titik infleksi potensial dengan melihat di mana turunan kedua adalah nol. Kami akan menggunakan metode ini untuk menentukan lokasi titik belok dari distribusi normal.
Dari sini mudah untuk melihat bahwa titik belok terjadi di mana x = μ ± σ. Dengan kata lain titik belok terletak satu deviasi standar di atas rata-rata dan satu deviasi standar di bawah rata-rata.