Properti Matematika Gelombang

Gelombang fisik, atau gelombang mekanis, terbentuk melalui getaran medium, baik itu seutas tali, kerak bumi, atau partikel gas dan cairan. Gelombang memiliki sifat matematika yang dapat dianalisis untuk memahami gerakan gelombang. Artikel ini memperkenalkan sifat-sifat gelombang umum ini, daripada bagaimana menerapkannya dalam situasi tertentu dalam fisika.

Ada dua jenis gelombang mekanis.

A adalah sedemikian rupa sehingga perpindahan media adalah tegak lurus (melintang) ke arah perjalanan gelombang di sepanjang medium. Bergetar string dalam gerakan periodik, sehingga gelombang bergerak di sepanjang itu, adalah gelombang transversal, seperti gelombang di lautan.

SEBUAH gelombang longitudinal sedemikian rupa sehingga perpindahan media bolak-balik di sepanjang arah yang sama dengan gelombang itu sendiri. Gelombang suara, di mana partikel udara didorong sepanjang dalam arah perjalanan, adalah contoh dari gelombang longitudinal.

Meskipun gelombang yang dibahas dalam artikel ini akan merujuk pada perjalanan dalam medium, matematika yang diperkenalkan di sini dapat digunakan untuk menganalisis sifat-sifat gelombang non-mekanis. Radiasi elektromagnetik, misalnya, mampu melakukan perjalanan melalui ruang kosong, tetapi tetap, memiliki sifat matematika yang sama dengan gelombang lainnya. Misalnya,

1. Gelombang dapat dilihat sebagai gangguan pada medium di sekitar keadaan keseimbangan, yang umumnya diam. Energi gangguan inilah yang menyebabkan gerak gelombang. Sebuah genangan air berada pada keseimbangan ketika tidak ada gelombang, tetapi begitu batu dilemparkan ke dalamnya, keseimbangan partikel-partikelnya terganggu dan gerakan gelombang dimulai.
2. Gangguan gelombang bergerak, atau propogat, dengan kecepatan yang pasti, disebut kecepatan gelombang (v).
3. Gelombang mengangkut energi, tetapi tidak masalah. Media itu sendiri tidak bergerak; partikel-partikel individual mengalami gerakan maju-mundur atau naik-turun di sekitar posisi kesetimbangan.

Untuk menggambarkan gerakan gelombang secara matematis, kami merujuk pada konsep a fungsi gelombang, yang menggambarkan posisi suatu partikel dalam medium setiap saat. Fungsi gelombang yang paling dasar adalah gelombang sinus, atau gelombang sinusoidal, yaitu a gelombang periodik (mis. gelombang dengan gerakan berulang).

Penting untuk dicatat bahwa fungsi gelombang tidak menggambarkan gelombang fisik, melainkan merupakan grafik perpindahan tentang posisi kesetimbangan. Ini bisa menjadi konsep yang membingungkan, tetapi hal yang berguna adalah kita dapat menggunakan gelombang sinusoidal untuk menggambarkan paling periodik gerakan, seperti bergerak dalam lingkaran atau mengayunkan pendulum, yang tidak harus terlihat seperti gelombang ketika Anda melihat yang sebenarnya gerakan.

• kecepatan gelombang (v) - kecepatan rambat gelombang
• amplitudo (SEBUAH) - besarnya maksimum perpindahan dari kesetimbangan, dalam satuan SI meter. Secara umum, itu adalah jarak dari titik tengah kesetimbangan gelombang ke perpindahan maksimumnya, atau setengah dari total perpindahan gelombang.
• Titik (T) - adalah waktu untuk satu siklus gelombang (dua pulsa, atau dari puncak ke puncak atau palung ke palung), dalam satuan SI detik (meskipun dapat disebut sebagai "detik per siklus").
• frekuensi (f) - jumlah siklus dalam satuan waktu. Satuan frekuensi SI adalah hertz (Hz) dan

  1 Hz = 1 siklus / s = 1 dtk^-1

• frekuensi sudut (ω) - adalah 2π frekuensi, dalam satuan SI radian per detik.
• panjang gelombang (λ) - jarak antara dua titik pada posisi yang sesuai pada pengulangan berturut-turut dalam gelombang, jadi (misalnya) dari satu puncak atau palung ke yang berikutnya, di Unit SI meter.
• nomor gelombang (k) - juga disebut konstanta propagasi, jumlah yang berguna ini didefinisikan sebagai 2 π dibagi dengan panjang gelombang, sehingga unit SI adalah radian per meter.
• nadi - satu setengah panjang gelombang, dari keseimbangan kembali

Beberapa persamaan yang berguna dalam menentukan jumlah di atas adalah:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Posisi vertikal suatu titik pada gelombang, y, dapat ditemukan sebagai fungsi dari posisi horisontal, x, dan waktu, t, ketika kita melihatnya. Kami berterima kasih kepada ahli matematika yang baik hati karena melakukan pekerjaan ini untuk kami, dan mendapatkan persamaan berguna berikut untuk menggambarkan gerakan gelombang:

y(x, t) = SEBUAH dosa ω(t - x/v) = SEBUAH dosa 2π f(t - x/v)

y(x, t) = SEBUAH dosa 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = SEBUAH dosa (ω t - kx)

Satu fitur terakhir dari fungsi gelombang adalah penerapan itu kalkulus untuk mengambil hasil turunan kedua persamaan gelombang, yang merupakan produk yang menarik dan terkadang bermanfaat (yang, sekali lagi, kami akan berterima kasih kepada matematikawan untuk dan menerima tanpa membuktikannya):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

Derivatif kedua dari y dengan hormat x setara dengan turunan kedua dari y dengan hormat t dibagi dengan kecepatan gelombang kuadrat. Kegunaan utama dari persamaan ini adalah itu setiap kali itu terjadi, kita tahu fungsinya y bertindak sebagai gelombang dengan kecepatan gelombang v dan maka dari itu, situasi dapat digambarkan menggunakan fungsi gelombang.