Tidak semua set infinite adalah sama. Salah satu cara untuk membedakan set ini adalah dengan menanyakan apakah set tersebut dapat dihitung tak terbatas atau tidak. Dengan cara ini, kita mengatakan bahwa himpunan tak terbatas dapat dihitung atau tidak terhitung. Kami akan mempertimbangkan beberapa contoh himpunan tak terbatas dan menentukan yang mana yang tidak terhitung.
Tak Terbatas Tak Terbatas
Kita mulai dengan mengesampingkan beberapa contoh set yang tak terbatas. Banyak perangkat tak terbatas yang akan segera kita pikirkan ternyata tak terhingga jumlahnya. Ini berarti bahwa mereka dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan asli.
Bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional semuanya tak terbatas. Persatuan atau persimpangan set yang tak terhingga jumlahnya juga dapat dihitung. Produk Cartesian dari sejumlah set yang dapat dihitung dapat dihitung. Setiap himpunan bagian dari himpunan yang dapat dihitung juga dapat dihitung.
Tak terhitung
Cara yang paling umum bahwa himpunan tak terhitung diperkenalkan dalam mempertimbangkan interval (0, 1) dari
bilangan real. Dari fakta ini, dan fungsi satu-ke-satu f( x ) = bx + Sebuah. itu adalah akibat wajar langsung untuk menunjukkan bahwa setiap interval (Sebuah, b) dari bilangan real tidak terhingga tak terhingga.Seluruh rangkaian bilangan real juga tidak terhitung. Salah satu cara untuk menunjukkan ini adalah dengan menggunakan fungsi tangen satu-ke-satu f ( x ) = tan x. Domain dari fungsi ini adalah interval (-π / 2, π / 2), himpunan yang tak terhitung, dan rentangnya adalah himpunan semua bilangan real.
Set Terhitung Lainnya
Operasi teori himpunan dasar dapat digunakan untuk menghasilkan lebih banyak contoh himpunan tak terbatas yang tak terhitung jumlahnya:
- Jika SEBUAH adalah bagian dari B dan SEBUAH tidak terhitung, maka begitu juga B. Ini memberikan bukti yang lebih langsung bahwa seluruh rangkaian bilangan real tidak terhitung.
- Jika SEBUAH tidak terhitung dan B adalah set, maka serikat SEBUAH U B juga tak terhitung.
- Jika SEBUAH tidak terhitung dan B diatur, maka produk Cartesian SEBUAH x B juga tak terhitung.
- Jika SEBUAH tak terbatas (bahkan tak terhingga tak terbatas) maka set daya dari SEBUAH tidak terhitung.
Dua contoh lain, yang terkait satu sama lain agak mengejutkan. Tidak setiap subset dari bilangan real tidak terhingga tak terhingga (memang, bilangan rasional membentuk subset yang dapat dihitung dari real yang juga padat). Subset tertentu tidak terhingga tak terhingga.
Salah satu himpunan tak terhingga tak terhingga ini melibatkan jenis ekspansi desimal tertentu. Jika kita memilih dua angka dan membentuk setiap ekspansi desimal yang mungkin dengan hanya dua digit ini, maka himpunan tak terhingga yang dihasilkan tidak terhitung.
Perangkat lain lebih rumit untuk dibangun dan juga tidak terhitung. Mulailah dengan interval tertutup [0,1]. Hapus sepertiga tengah dari set ini, menghasilkan [0, 1/3] U [2/3, 1]. Sekarang hapus sepertiga tengah masing-masing bagian yang tersisa dari set. Jadi (1/9, 2/9) dan (7/9, 8/9) dihilangkan. Kami melanjutkan dengan cara ini. Himpunan poin yang tetap setelah semua interval ini dihapus bukanlah interval, namun, itu tak terhingga tak terhingga. Set ini disebut Set Penyaji.
Ada banyak set yang tak terhitung banyaknya, tetapi contoh di atas adalah beberapa set yang paling sering ditemui.