Vektor Matematika: Pengantar Dasar Tapi Lengkap

Ini adalah pengantar dasar, meskipun mudah-mudahan cukup komprehensif, untuk bekerja dengan vektor. Vektor bermanifestasi dalam berbagai cara mulai dari perpindahan, kecepatan, dan akselerasi ke gaya dan medan. Artikel ini dikhususkan untuk matematika vektor; aplikasi mereka dalam situasi tertentu akan dibahas di tempat lain.

SEBUAH kuantitas vektor, atau vektor, memberikan informasi tentang tidak hanya besarnya tetapi juga arah kuantitas. Ketika memberikan arahan ke sebuah rumah, tidaklah cukup untuk mengatakan bahwa jaraknya 10 mil, tetapi arah 10 mil itu juga harus disediakan agar informasi tersebut bermanfaat. Variabel yang merupakan vektor akan ditandai dengan variabel boldface, meskipun biasanya terlihat vektor dilambangkan dengan panah kecil di atas variabel.

Sama seperti kita tidak mengatakan rumah lain berjarak -10 mil jauhnya, besarnya vektor selalu merupakan angka positif, atau lebih tepatnya nilai absolut dari "panjang" vektor (meskipun kuantitas mungkin bukan panjang, mungkin kecepatan, akselerasi, gaya, dll. Sebuah negatif di depan vektor tidak menunjukkan perubahan dalam besarnya, tetapi lebih ke arah arah vektor.

Dalam contoh di atas, jarak adalah kuantitas skalar (10 mil) tetapi pemindahan adalah kuantitas vektor (10 mil ke timur laut). Demikian pula, kecepatan adalah kuantitas skalar sedangkan kecepatan adalah a vektor kuantitas.

SEBUAH vektor satuan adalah vektor yang memiliki besaran satu. Vektor yang mewakili satuan vektor biasanya juga dicetak tebal, meskipun akan memiliki karat (^) di atasnya untuk menunjukkan sifat unit variabel. Vektor satuan x, ketika ditulis dengan karat, umumnya dibaca sebagai "x-hat" karena karat terlihat seperti topi pada variabel.

Itu vektor nol, atau vektor nol, adalah vektor dengan besarnya nol. Itu ditulis sebagai 0 dalam artikel ini.

Vektor pada umumnya berorientasi pada sistem koordinat, yang paling populer di antaranya adalah bidang Kartesius dua dimensi. Bidang Cartesian memiliki sumbu horizontal yang berlabel x dan sumbu vertikal berlabel y. Beberapa aplikasi canggih vektor dalam fisika memerlukan penggunaan ruang tiga dimensi, di mana sumbu x, y, dan z. Artikel ini sebagian besar akan membahas sistem dua dimensi, meskipun konsep dapat diperluas dengan hati-hati hingga tiga dimensi tanpa terlalu banyak kesulitan.

Vektor dalam sistem koordinat multi dimensi dapat dipecah menjadi vektornya vektor komponen. Dalam kasus dua dimensi, ini menghasilkan a komponen-x dan a komponen y. Ketika memecah vektor menjadi komponen-komponennya, vektor adalah jumlah komponen:

F = F_x + F_y

thetaF_xF_yF

F_x / F = cos theta dan F_y / F = dosa thetayang memberi kita
F_x = F cos theta dan F_y = F dosa theta

Perhatikan bahwa angka-angka di sini adalah besarnya vektor. Kami tahu arah komponen, tetapi kami berusaha menemukan besarnya, jadi kami menghapus informasi arah dan melakukan perhitungan skalar ini untuk mengetahui besarnya. Penerapan lebih lanjut dari trigonometri dapat digunakan untuk menemukan hubungan lain (seperti garis singgung) yang berkaitan antara beberapa jumlah ini, tetapi saya pikir itu sudah cukup untuk saat ini.

Selama bertahun-tahun, satu-satunya matematika yang dipelajari siswa adalah matematika skalar. Jika Anda melakukan perjalanan 5 mil ke utara dan 5 mil ke timur, Anda telah menempuh jarak 10 mil. Menambahkan jumlah skalar mengabaikan semua informasi tentang arah.

Vektor dimanipulasi agak berbeda. Arah harus selalu diperhitungkan saat memanipulasi mereka.

Ketika Anda menambahkan dua vektor, seolah-olah Anda mengambil vektor dan menempatkannya ujung ke ujung dan membuat vektor baru berjalan dari titik awal ke titik akhir. Jika vektor memiliki arah yang sama, maka ini hanya berarti menambahkan besaran, tetapi jika mereka memiliki arah yang berbeda, itu dapat menjadi lebih kompleks.

Anda menambahkan vektor dengan memecahnya menjadi komponen mereka dan kemudian menambahkan komponen, seperti di bawah ini:

Sebuah + b = c
Sebuah_x + Sebuah_y + b_x + b_y =
( Sebuah_x + b_x) + ( Sebuah_y + b_y) = c_x + c_y

Dua komponen-x akan menghasilkan komponen-x dari variabel baru, sedangkan dua komponen-y menghasilkan komponen-y dari variabel baru.

Urutan yang Anda tambahkan vektor tidak masalah. Bahkan, beberapa properti dari penahan skalar tahan untuk penambahan vektor:

Properti Identitas dari Penambahan Vektor
Sebuah + 0 = Sebuah
Properti Inversi Penambahan Vektor
Sebuah + -Sebuah = Sebuah - Sebuah = 0
Properti Reflektif dari Penambahan Vektor
Sebuah = Sebuah
Properti Komutatif Penambahan Vektor
Sebuah + b = b + Sebuah
Properti Asosiatif dari Penambahan Vektor
(Sebuah + b) + c = Sebuah + (b + c)
Properti Transitif dari Penambahan Vektor
Jika Sebuah = b dan c = b, kemudian Sebuah = c

Operasi paling sederhana yang dapat dilakukan pada vektor adalah dengan mengalikannya dengan skalar. Penggandaan skalar ini mengubah besarnya vektor. Dengan kata lain, itu membuat vektor lebih panjang atau lebih pendek.

Ketika mengalikan skalar negatif, vektor yang dihasilkan akan menunjuk ke arah yang berlawanan.

Itu produk skalar dari dua vektor adalah cara untuk melipatgandakannya bersama untuk mendapatkan kuantitas skalar. Ini ditulis sebagai perkalian dari dua vektor, dengan titik di tengah mewakili perkalian. Karena itu, sering disebut produk titik dari dua vektor.

Untuk menghitung produk titik dari dua vektor, Anda mempertimbangkan sudut di antara mereka. Dengan kata lain, jika mereka berbagi titik awal yang sama, apa yang akan menjadi pengukuran sudut (theta) diantara mereka. Produk titik didefinisikan sebagai:

Sebuah * b = ab cos theta

ababba

Dalam kasus ketika vektor tegak lurus (atau theta = 90 derajat), cos theta akan menjadi nol. Karena itu, produk titik vektor tegak lurus selalu nol. Kapan vektornya paralel (atau theta = 0 derajat), cos theta adalah 1, jadi produk skalar hanyalah produk dari besaran.

Fakta-fakta kecil yang rapi ini dapat digunakan untuk membuktikan bahwa, jika Anda tahu komponennya, Anda dapat menghilangkan kebutuhan theta sepenuhnya dengan persamaan (dua dimensi):

Sebuah * b = Sebuah_x b_x + Sebuah_y b_y

Itu produk vektor ditulis dalam bentuk Sebuah x b, dan biasanya disebut produk silang dari dua vektor. Dalam hal ini, kami mengalikan vektor dan alih-alih mendapatkan kuantitas skalar, kami akan mendapatkan kuantitas vektor. Ini adalah perhitungan vektor yang paling sulit yang akan kita hadapi, sebagaimana adanya tidak komutatif dan melibatkan penggunaan yang ditakuti aturan kanan, yang akan saya dapatkan segera.

Sekali lagi, kami mempertimbangkan dua vektor yang diambil dari titik yang sama, dengan sudut theta diantara mereka. Kami selalu mengambil sudut terkecil, jadi theta akan selalu berada dalam kisaran 0 hingga 180 dan hasilnya, karenanya, tidak akan pernah negatif. Besarnya vektor yang dihasilkan ditentukan sebagai berikut:

Jika c = Sebuah x b, kemudian c = ab dosa theta

Produk vektor vektor paralel (atau antiparalel) selalu nol

Produk vektor akan tegak lurus terhadap bidang yang dibuat dari dua vektor tersebut. Jika Anda menggambarkan bidang sebagai bidang datar, pertanyaannya menjadi apakah vektor yang dihasilkan pergi atas (kami "keluar" dari tabel, dari perspektif kami) atau turun (atau "ke" meja, dari kami perspektif).

Untuk mengetahui hal ini, Anda harus menerapkan apa yang disebut aturan kanan. Ketika saya belajar fisika di sekolah, saya benci aturan di sebelah kanan. Setiap kali saya menggunakannya, saya harus mengeluarkan buku itu untuk mencari tahu cara kerjanya. Semoga uraian saya akan sedikit lebih intuitif daripada yang saya perkenalkan.

Jika Anda memiliki Sebuah x b Anda akan menempatkan tangan kanan Anda sepanjang b sehingga jari-jari Anda (kecuali ibu jari) dapat melengkung untuk menunjuk Sebuah. Dengan kata lain, Anda semacam berusaha membuat sudut theta antara telapak tangan dan empat jari tangan kanan Anda. Jempol, dalam hal ini, akan menempel lurus ke atas (atau keluar dari layar, jika Anda mencoba melakukannya ke komputer). Buku-buku jari Anda akan secara kasar berbaris dengan titik awal dari dua vektor. Presisi tidak penting, tetapi saya ingin Anda mendapatkan ide karena saya tidak memiliki gambaran tentang hal ini untuk diberikan.

Namun, jika Anda mempertimbangkan b x Sebuah, Anda akan melakukan yang sebaliknya. Anda akan meletakkan tangan kanan Anda di sepanjang Sebuah dan arahkan jari Anda b. Jika mencoba melakukan ini di layar komputer, Anda akan menemukan itu tidak mungkin, jadi gunakan imajinasi Anda. Anda akan menemukan bahwa, dalam hal ini, ibu jari imajinatif Anda menunjuk ke layar komputer. Itulah arah vektor yang dihasilkan.

Aturan sebelah kanan menunjukkan hubungan berikut:

Sebuah x b = - b x Sebuah

taksi

c_x = Sebuah_y b_z - Sebuah_z b_y
c_y = Sebuah_z b_x - Sebuah_x b_z
c_z = Sebuah_x b_y - Sebuah_y b_x

abc_xc_yc

Pada level yang lebih tinggi, vektor bisa menjadi sangat kompleks untuk dikerjakan. Seluruh kursus di perguruan tinggi, seperti aljabar linier, mencurahkan banyak waktu untuk matriks (yang saya harap dihindari dalam pengantar ini), vektor, dan ruang vektor. Tingkat detail itu berada di luar cakupan artikel ini, tetapi ini harus memberikan dasar yang diperlukan untuk sebagian besar manipulasi vektor yang dilakukan di kelas fisika. Jika Anda ingin mempelajari fisika secara lebih mendalam, Anda akan diperkenalkan dengan konsep vektor yang lebih kompleks saat Anda melanjutkan pendidikan Anda.