Perhitungan Dengan Fungsi Gamma

Itu fungsi gamma didefinisikan oleh rumus mencari rumit berikut:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^z-1dt

Satu pertanyaan yang orang miliki ketika mereka pertama kali menemukan persamaan membingungkan ini adalah, "Bagaimana Anda menggunakan rumus ini untuk menghitung nilai-nilai fungsi gamma? " Ini adalah pertanyaan penting karena sulit untuk mengetahui apa arti fungsi ini dan apa semua simbol berdiri untuk.

Salah satu cara untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan melihat beberapa perhitungan sampel dengan fungsi gamma. Sebelum kita melakukan ini, ada beberapa hal dari kalkulus yang harus kita ketahui, seperti bagaimana mengintegrasikan tipe I integral yang tidak benar, dan bahwa e adalah konstanta matematika.

Sebelum melakukan perhitungan apa pun, kami memeriksa motivasi di balik perhitungan ini. Seringkali fungsi gamma muncul di belakang layar. Beberapa fungsi kerapatan probabilitas dinyatakan dalam fungsi gamma. Contohnya termasuk distribusi gamma dan distribusi t siswa, Pentingnya fungsi gamma tidak dapat dilebih-lebihkan.

Contoh perhitungan pertama yang akan kita pelajari adalah menemukan nilai fungsi gamma untuk Γ (1). Ini ditemukan dengan pengaturan z = 1 dalam rumus di atas:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Kami menghitung integral di atas dalam dua langkah:

• Integral tak terbatas ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Ini adalah integral yang tidak tepat, jadi kami punya ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Contoh perhitungan berikutnya yang akan kami pertimbangkan mirip dengan contoh terakhir, tetapi kami meningkatkan nilainya z oleh 1. Kami sekarang menghitung nilai fungsi gamma untuk Γ (2) dengan mengatur z = 2 dalam rumus di atas. Langkah-langkahnya sama seperti di atas:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Integral tak terbatas ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Meskipun kami hanya meningkatkan nilai z dengan 1, dibutuhkan lebih banyak pekerjaan untuk menghitung integral ini. Untuk menemukan integral ini, kita harus menggunakan teknik dari kalkulus yang dikenal sebagai integrasi oleh bagian-bagian. Kami sekarang menggunakan batas integrasi seperti di atas dan perlu menghitung:

lim_{b → ∞}- jadilah ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

Hasil dari kalkulus yang dikenal sebagai aturan L'Hospital memungkinkan kami untuk menghitung batas limit_{b → ∞}- jadilah ^{- b} = 0. Ini berarti bahwa nilai integral kami di atas adalah 1.

Fitur lain dari fungsi gamma dan yang menghubungkannya ke faktorial adalah rumus Γ (z +1 ) =zΓ (z ) untuk z setiap bilangan kompleks dengan positif nyata bagian. Alasan mengapa ini benar adalah akibat langsung dari rumus untuk fungsi gamma. Dengan menggunakan integrasi oleh bagian-bagian kita dapat menetapkan properti ini dari fungsi gamma.