Satu pertanyaan alami untuk ditanyakan tentang distribusi probabilitas adalah, "Apa pusatnya?" Nilai yang diharapkan adalah salah satu ukuran pusat distribusi probabilitas. Karena mengukur rata-rata, seharusnya tidak mengejutkan bahwa rumus ini berasal dari rata-rata.
Untuk menetapkan titik awal, kita harus menjawab pertanyaan, "Berapa nilai yang diharapkan?" Misalkan kita memiliki variabel acak yang terkait dengan percobaan probabilitas. Katakanlah kita mengulangi percobaan ini berulang kali. Dalam jangka panjang beberapa pengulangan dari percobaan probabilitas yang sama, jika kita meratakan semua nilai kami dari variabel acak, kami akan mendapatkan nilai yang diharapkan.
Di bagian selanjutnya kita akan melihat cara menggunakan rumus untuk nilai yang diharapkan. Kami akan melihat pengaturan diskrit dan kontinu dan melihat persamaan dan perbedaan dalam formula.
Rumus untuk Variabel Acak Diskrit
Kami mulai dengan menganalisis kasus diskrit. Diberikan variabel acak diskrit X, anggaplah itu memiliki nilai
x1, x2, x3,... xn, dan probabilitas masing-masing hal1, hal2, hal3,... haln. Ini mengatakan bahwa fungsi massa probabilitas untuk variabel acak ini memberikan f(xsaya) = halsaya.Nilai yang diharapkan dari X diberikan oleh rumus:
E (X) = x1hal1 + x2hal2 + x3hal3 +... + xnhaln.
Menggunakan probabilitas fungsi massa dan notasi penjumlahan memungkinkan kita untuk lebih kompak menulis rumus ini sebagai berikut, di mana penjumlahan tersebut diambil alih indeks saya:
E (X) = Σ xsayaf(xsaya).
Versi rumus ini bermanfaat untuk dilihat karena juga berfungsi ketika kita memiliki ruang sampel tanpa batas. Formula ini juga dapat dengan mudah disesuaikan untuk kasus kontinu.
Sebuah contoh
Balikkan koin tiga kali dan biarkan X menjadi jumlah kepala. Variabel acak X diskrit dan terbatas. Satu-satunya nilai yang mungkin kita miliki adalah 0, 1, 2 dan 3. Ini memiliki distribusi probabilitas 1/8 untuk X = 0, 3/8 untuk X = 1, 3/8 untuk X = 2, 1/8 untuk X = 3. Gunakan rumus nilai yang diharapkan untuk mendapatkan:
(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5
Dalam contoh ini, kita melihat bahwa, dalam jangka panjang, kita akan rata-rata total 1,5 kepala dari percobaan ini. Ini masuk akal dengan intuisi kita karena setengah dari 3 adalah 1,5.
Rumus untuk Variabel Acak Berkelanjutan
Kami sekarang beralih ke variabel acak kontinu, yang akan ditunjukkan oleh X. Kami akan membiarkan fungsi kepadatan probabilitas X diberikan oleh fungsi f(x).
Nilai yang diharapkan dari X diberikan oleh rumus:
E (X) = ∫ x f(x) dx.
Di sini kita melihat bahwa nilai yang diharapkan dari variabel acak kami dinyatakan sebagai integral.
Aplikasi Nilai yang Diharapkan
Ada banyak aplikasi untuk nilai yang diharapkan dari variabel acak. Formula ini membuat penampilan yang menarik di Paradox St. Petersburg.