Itu set daya satu set SEBUAH adalah koleksi semua himpunan bagian dari A. Saat bekerja dengan yang terbatas set dengan n elemen, satu pertanyaan yang mungkin kita ajukan adalah, "Berapa banyak elemen yang ada di set daya SEBUAH? ” Kita akan melihat bahwa jawaban untuk pertanyaan ini adalah 2n dan buktikan secara matematis mengapa ini benar.
Pengamatan Pola
Kami akan mencari pola dengan mengamati jumlah elemen dalam set daya SEBUAHdimana SEBUAH telah n elemen:
- Jika SEBUAH = {} (set kosong), lalu SEBUAH tidak memiliki elemen tetapi P (A) = {{}}, satu set dengan satu elemen.
- Jika SEBUAH = {a}, lalu SEBUAH memiliki satu elemen dan P (A) = {{}, {a}}, satu set dengan dua elemen.
- Jika SEBUAH = {a, b}, lalu SEBUAH memiliki dua elemen dan P (A) = {{}, {a}, {b}, {a, b}}, satu set dengan dua elemen.
Dalam semua situasi ini, mudah untuk melihat set dengan sejumlah kecil elemen yang jika ada sejumlah terbatas n elemen dalam SEBUAH, lalu set daya P (SEBUAH) memiliki 2n elemen. Tetapi apakah pola ini berlanjut? Hanya karena sebuah pola berlaku untuk
n = 0, 1, dan 2 tidak harus berarti bahwa polanya benar untuk nilai yang lebih tinggi dari n.Namun pola ini terus berlanjut. Untuk menunjukkan bahwa memang demikian, kami akan menggunakan bukti dengan induksi.
Bukti oleh Induksi
Bukti dengan induksi berguna untuk membuktikan pernyataan tentang semua bilangan alami. Kami mencapai ini dalam dua langkah. Untuk langkah pertama, kami jangkar bukti kami dengan menunjukkan pernyataan yang benar untuk nilai pertama n yang ingin kami pertimbangkan. Langkah kedua dari bukti kami adalah mengasumsikan bahwa pernyataan itu berlaku n = k, dan pertunjukan yang menyiratkan pernyataan ini berlaku untuk n = k + 1.
Pengamatan lain
Untuk membantu dalam bukti kita, kita perlu pengamatan lain. Dari contoh di atas, kita dapat melihat bahwa P ({a}) adalah subset dari P ({a, b}). Subset dari {a} membentuk persis setengah dari subset dari {a, b}. Kami dapat memperoleh semua himpunan bagian dari {a, b} dengan menambahkan elemen b ke masing-masing himpunan bagian dari {a}. Penambahan himpunan ini dilakukan melalui operasi himpunan gabungan:
- Set Kosong {b} = {b}
- {a} U {b} = {a, b}
Ini adalah dua elemen baru dalam P ({a, b}) yang bukan elemen P ({a}).
Kami melihat kejadian serupa untuk P ({a, b, c}). Kita mulai dengan empat set P ({a, b}), dan masing-masing kita tambahkan elemen c:
- Set Kosong {c} = {c}
- {a} U {c} = {a, c}
- {b} U {c} = {b, c}
- {a, b} U {c} = {a, b, c}
Dan akhirnya kita memiliki delapan elemen dalam P ({a, b, c}).
Bukti
Kami sekarang siap untuk membuktikan pernyataan, "Jika diatur SEBUAH mengandung n elemen, maka set daya P (A) memiliki 2n elemen. "
Kami mulai dengan mencatat bahwa bukti dengan induksi telah menjadi sandaran untuk kasus-kasus tersebut n = 0, 1, 2 dan 3. Kami menduga dengan induksi bahwa pernyataan itu berlaku untuk k. Sekarang biarkan set SEBUAH berisi n +1 elemen. Kita bisa menulis SEBUAH = B U {x}, dan pertimbangkan cara membentuk himpunan bagian dari SEBUAH.
Kami mengambil semua elemen P (B), dan dengan hipotesis induktif, ada 2n ini. Kemudian kita menambahkan elemen x ke masing-masing himpunan bagian dari B, menghasilkan 2 lainnyan himpunan bagian dari B. Ini menguras daftar subset dari B, dan totalnya adalah 2n + 2n = 2(2n) = 2n + 1 elemen set daya SEBUAH.