Cara Menghitung Median Distribusi Eksponensial

Itu median dari set data adalah titik tengah di mana tepat setengah dari nilai data kurang dari atau sama dengan median. Dengan cara yang sama, kita dapat berpikir tentang median a kontinudistribusi kemungkinan, tetapi alih-alih menemukan nilai tengah dalam satu set data, kami menemukan tengah distribusi dengan cara yang berbeda.

Total area di bawah fungsi kepadatan probabilitas adalah 1, mewakili 100%, dan sebagai hasilnya, setengah dari ini dapat diwakili oleh setengah atau 50 persen. Salah satu ide besar dari statistik matematika adalah probabilitas yang diwakili oleh area di bawah kurva fungsi kerapatan, yang dihitung dengan integral, dan dengan demikian median distribusi kontinu adalah titik pada itu bilangan real garis di mana tepat setengah dari area terletak di sebelah kiri.

Ini dapat secara lebih ringkas dinyatakan oleh integral yang tidak tepat berikut. Median dari variabel acak kontinu X dengan fungsi kepadatan f( x) adalah nilai M sedemikian rupa sehingga:

$0.5={\int }_m^{-\infty }f\left(x\right)dx$0.5=∫m−∞​f(x)dx

Kami sekarang menghitung median untuk distribusi eksponensial Exp (A). Variabel acak dengan distribusi ini memiliki fungsi kerapatan f(x) = e^-x/SEBUAH/ A untuk x bilangan real tidak negatif. Fungsi ini juga berisi konstanta matematika e, kira-kira sama dengan 2,71828.

Karena fungsi kepadatan probabilitas adalah nol untuk setiap nilai negatif x, yang harus kita lakukan adalah mengintegrasikan yang berikut ini dan menyelesaikannya untuk M:

0,5 = ∫0M f (x) dx

Karena integral ∫ e^-x/SEBUAH/ A dx = -e^-x/SEBUAH, hasilnya adalah itu

0,5 = -e-M / A + 1

Ini berarti 0,5 = e^{-M / A} dan setelah mengambil logaritma natural dari kedua sisi persamaan, kita memiliki:

Pada (1/2) = -M / A

Sejak 1/2 = 2^-1, berdasarkan sifat logaritma yang kami tulis:

- ln2 = -M / A

Mengalikan kedua sisi dengan A memberi kita hasil bahwa median M = A ln2.

Salah satu konsekuensi dari hasil ini harus disebutkan: rata-rata dari distribusi eksponensial Exp (A) adalah A, dan karena ln2 kurang dari 1, maka produk Aln2 kurang dari A. Ini berarti bahwa median distribusi eksponensial kurang dari rata-rata.

Ini masuk akal jika kita berpikir tentang grafik fungsi kepadatan probabilitas. Karena ekornya yang panjang, distribusi ini condong ke kanan. Sering kali ketika distribusi condong ke kanan, berarti di sebelah kanan median.

Apa artinya ini dalam hal analisis statistik adalah bahwa kita seringkali dapat memprediksi bahwa mean dan median tidak secara langsung berkorelasi mengingat probabilitas bahwa data condong ke kanan, yang dapat dinyatakan sebagai bukti ketimpangan rata-rata-rata dikenal sebagai Ketimpangan Chebyshev.

Sebagai contoh, pertimbangkan kumpulan data yang menyatakan bahwa seseorang menerima total 30 pengunjung dalam 10 jam, di mana waktu tunggu rata-rata untuk pengunjung adalah 20 menit, sementara set data dapat menunjukkan bahwa waktu tunggu rata-rata akan berada di suatu tempat antara 20 dan 30 menit jika lebih dari setengah dari pengunjung datang dalam lima pertama jam.