Max dan Titik Infleksi dari Distribusi Chi-Square

Statistik matematika menggunakan teknik dari berbagai cabang matematika untuk membuktikan secara definitif bahwa pernyataan mengenai statistik adalah benar. Kita akan melihat bagaimana menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai yang disebutkan di atas dari kedua nilai maksimum distribusi chi-square, yang sesuai dengan modenya, serta menemukan titik belok dari distribusi.

Sebelum melakukan ini, kita akan membahas fitur maxima dan titik belok secara umum. Kami juga akan memeriksa metode untuk menghitung titik infleksi maksimum.

Untuk sekumpulan data diskrit, mode adalah nilai yang paling sering terjadi. Pada histogram data, ini akan diwakili oleh bilah tertinggi. Setelah kami mengetahui bilah tertinggi, kami melihat nilai data yang sesuai dengan basis untuk bilah ini. Ini adalah mode untuk kumpulan data kami.

Ide yang sama digunakan dalam bekerja dengan distribusi kontinu. Saat ini untuk menemukan mode, kami mencari puncak tertinggi dalam distribusi. Untuk grafik distribusi ini, ketinggian puncak adalah nilai y. Nilai y ini disebut maksimum untuk grafik kami karena nilainya lebih besar daripada nilai y lainnya. Mode adalah nilai sepanjang sumbu horizontal yang sesuai dengan nilai-y maksimum ini.

Meskipun kita dapat dengan mudah melihat grafik distribusi untuk menemukan mode, ada beberapa masalah dengan metode ini. Akurasi kami hanya sebagus grafik kami, dan kami cenderung harus memperkirakan. Juga, mungkin ada kesulitan dalam membuat grafik fungsi kita.

Metode alternatif yang tidak memerlukan grafik adalah menggunakan kalkulus. Metode yang akan kita gunakan adalah sebagai berikut:

1. Mulai dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x) untuk distribusi kami.
2. Hitung yang pertama dan kedua turunannya dari fungsi ini: f '(x) dan f ''(x)
3. Tetapkan turunan pertama ini sama dengan nol f '(x) = 0.
4. Pecahkan untuk x.
5. Masukkan nilai dari langkah sebelumnya ke turunan kedua dan evaluasi. Jika hasilnya negatif, maka kami memiliki maksimum lokal pada nilai x.
6. Evaluasi fungsi kami f (x) di semua poin x dari langkah sebelumnya.
7. Mengevaluasi fungsi kepadatan probabilitas pada titik akhir dari dukungannya. Jadi jika fungsi memiliki domain yang diberikan oleh interval tertutup [a, b], maka evaluasi fungsi di titik akhir Sebuah dan b.
8. Nilai terbesar dalam langkah 6 dan 7 akan menjadi maksimum absolut dari fungsi. Nilai x di mana maksimum ini terjadi adalah mode distribusi.

Sekarang kita melalui langkah-langkah di atas untuk menghitung mode distribusi chi-square dengan r derajat kebebasan. Kami mulai dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x) yang ditampilkan pada gambar di artikel ini.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Sini K adalah konstanta yang melibatkan fungsi gamma dan kekuatan 2. Kita tidak perlu mengetahui spesifiknya (namun kita dapat merujuk pada rumus pada gambar untuk ini).

Turunan pertama dari fungsi ini diberikan dengan menggunakan aturan produk serta aturan rantai:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Kami menetapkan turunan ini sama dengan nol, dan memfaktorkan ekspresi di sisi kanan:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Karena konstan K, itu Fungsi eksponensial dan x^{r / 2-1} semua bukan nol, kita dapat membagi kedua sisi persamaan dengan ekspresi ini. Kami kemudian memiliki:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Lipat gandakan kedua sisi persamaan dengan 2:

0 = (r - 2)x^-1- 1

Jadi 1 = (r - 2)x^-1dan kami menyimpulkan dengan memiliki x = r - 2. Ini adalah titik di sepanjang sumbu horizontal di mana mode terjadi. Ini menunjukkan x nilai puncak distribusi chi-square kami.

Fitur lain dari kurva berkaitan dengan cara kurva. Bagian-bagian dari suatu kurva dapat cekung ke atas, seperti huruf besar U. Kurva juga bisa cekung ke bawah, dan berbentuk seperti persimpangan simbol ∩. Di mana kurva berubah dari cekung ke cekung ke atas, atau sebaliknya kita memiliki titik belok.

Derivatif kedua dari fungsi mendeteksi keringkasan grafik fungsi. Jika turunan kedua positif, maka kurva cekung. Jika turunan kedua negatif, maka kurva cekung ke bawah. Ketika turunan kedua sama dengan nol dan grafik fungsi berubah konkavitas, kita memiliki titik belok.

Untuk menemukan titik belok grafik, kami:

1. Hitung turunan kedua dari fungsi kita f ''(x).
2. Tetapkan turunan kedua ini sama dengan nol.
3. Selesaikan persamaan dari langkah sebelumnya untuk x.

Sekarang kita melihat bagaimana bekerja melalui langkah-langkah di atas untuk distribusi chi-square. Kita mulai dengan membedakan. Dari pekerjaan di atas, kami melihat bahwa turunan pertama untuk fungsi kami adalah:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Kami membedakan lagi, menggunakan aturan produk dua kali. Kita punya:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Kami menetapkan ini sama dengan nol dan membagi kedua sisi dengan Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) x^{r / 2-2}

Dengan menggabungkan istilah seperti yang kami miliki:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Lipat gandakan kedua sisi dengan 4x^{3 - r / 2}, ini memberi kita:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Formula kuadrat sekarang dapat digunakan untuk menyelesaikan x.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Kami memperluas istilah yang dibawa ke kekuatan 1/2 dan melihat yang berikut:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Ini berarti:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Dari sini kita melihat bahwa ada dua titik belok. Selain itu, titik-titik ini simetris tentang mode distribusi karena (r - 2) berada di tengah antara dua titik belok.

Kami melihat bagaimana kedua fitur ini terkait dengan jumlah derajat kebebasan. Kami dapat menggunakan informasi ini untuk membantu dalam membuat sketsa distribusi chi-square. Kami juga dapat membandingkan distribusi ini dengan yang lain, seperti distribusi normal. Kita dapat melihat bahwa titik belok untuk distribusi chi-square terjadi di tempat yang berbeda dari titik belok untuk distribusi normal.