Jika Anda meminta seseorang untuk menyebutkan konstanta matematika favoritnya, Anda mungkin akan mendapatkan tampilan yang aneh. Setelah beberapa saat seseorang dapat menjadi sukarelawan konstanta terbaik adalah pi. Tetapi ini bukan satu-satunya konstanta matematika yang penting. Yang kedua, jika tidak bersaing untuk mahkota konstanta yang paling ada di mana-mana adalah e. Angka ini muncul dalam kalkulus, teori bilangan, probabilitas dan statistik. Kami akan memeriksa beberapa fitur dari angka yang luar biasa ini, dan melihat hubungan apa yang dimilikinya dengan statistik dan probabilitas.
Nilai dari e
Seperti pi, e adalah irasional bilangan real. Ini berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai pecahan, dan bahwa ekspansi desimalnya berlangsung selamanya tanpa blok angka berulang yang terus berulang. Nomor e juga transendental, yang berarti bahwa ia bukan akar dari polinom bukan nol dengan koefisien rasional. Lima puluh tempat desimal pertama diberikan oleh e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Definisi dari e
Nomor e ditemukan oleh orang-orang yang ingin tahu tentang bunga majemuk. Dalam bentuk bunga ini, kepala sekolah menghasilkan bunga dan kemudian bunga yang dihasilkan menghasilkan bunga pada dirinya sendiri. Diamati bahwa semakin besar frekuensi periode peracikan per tahun, semakin tinggi jumlah bunga yang dihasilkan. Misalnya, kita dapat melihat minat yang digabungkan:
- Setiap tahun, atau setahun sekali
- Setengah tahunan, atau dua kali setahun
- Bulanan, atau 12 kali setahun
- Setiap hari, atau 365 kali setahun
Jumlah total bunga meningkat untuk masing-masing kasus ini.
Muncul pertanyaan tentang berapa banyak uang yang bisa diperoleh dengan bunga. Untuk mencoba menghasilkan lebih banyak uang, secara teori, kita dapat meningkatkan periode peracikan menjadi jumlah yang kita inginkan. Hasil akhir dari peningkatan ini adalah bahwa kami akan mempertimbangkan bunga yang terus bertambah.
Sementara bunga yang dihasilkan meningkat, ia melakukannya dengan sangat lambat. Jumlah total uang dalam akun benar-benar stabil, dan nilai stabilnya adalah e. Untuk mengekspresikan ini menggunakan rumus matematika kita katakan bahwa batas as n meningkat dari (1 + 1 /n)n = e.
Penggunaan e
Nomor e muncul di seluruh matematika. Berikut adalah beberapa tempat penampilannya:
- Ini adalah dasar dari logaritma natural. Sejak Makasar menemukan logaritma, e kadang-kadang disebut sebagai konstanta Napier.
- Dalam kalkulus, fungsi eksponensial ex memiliki sifat unik sebagai turunannya sendiri.
- Ekspresi yang melibatkan ex dan e-x bergabung untuk membentuk fungsi sinus sinus hiperbolik dan hiperbolik.
- Berkat karya Euler, kita tahu bahwa konstanta dasar matematika saling terkait dengan rumus eiΠ +1 = 0, di mana saya adalah bilangan imajiner yang merupakan akar kuadrat dari yang negatif.
- Nomor e muncul dalam berbagai rumus di seluruh matematika, terutama bidang teori bilangan.
Nilai e dalam Statistik
Pentingnya angka tersebut e tidak terbatas pada beberapa bidang matematika saja. Ada juga beberapa kegunaan nomor tersebut e dalam statistik dan probabilitas. Beberapa di antaranya adalah sebagai berikut:
- Nomor e membuat tampilan di rumus untuk fungsi gamma.
- Rumus untuk distribusi normal standar melibatkan e ke kekuatan negatif. Formula ini juga termasuk pi.
- Banyak distribusi lain melibatkan penggunaan nomor tersebut e. Misalnya, rumus untuk distribusi-t, distribusi gamma, dan distribusi chi-square semuanya berisi angka e.