Varians populasi memberikan indikasi bagaimana menyebar set data. Sayangnya, biasanya tidak mungkin untuk mengetahui dengan tepat apa parameter populasi ini. Untuk mengimbangi kurangnya pengetahuan kami, kami menggunakan topik dari statistik inferensial yang disebut interval kepercayaan. Kita akan melihat contoh bagaimana menghitung interval kepercayaan untuk varians populasi.
Formula Interval Keyakinan
Rumus untuk (1 - α) Interval kepercayaan tentang varians populasi. Diberikan oleh serangkaian ketidaksetaraan berikut:
[ (n - 1)s2] / B < σ2 < [ (n - 1)s2] / SEBUAH.
Sini n adalah ukuran sampel, s2 adalah varians sampel. Nomor SEBUAH adalah titik distribusi chi-square dengan n -1 derajat kebebasan di mana tepatnya α / 2 area di bawah kurva berada di sebelah kiri SEBUAH. Dengan cara yang sama, jumlahnya B adalah titik dari distribusi chi-square yang sama dengan tepat α / 2 dari area di bawah kurva di sebelah kanan B.
Persiapan
Kami mulai dengan kumpulan data dengan 10 nilai. Rangkaian nilai data ini diperoleh dengan sampel acak sederhana:
97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102
Beberapa analisis data eksplorasi akan diperlukan untuk menunjukkan bahwa tidak ada outlier. Dengan membangun a petak batang dan daun kami melihat bahwa data ini kemungkinan berasal dari distribusi yang kira-kira terdistribusi normal. Ini berarti bahwa kita dapat melanjutkan dengan menemukan interval kepercayaan 95% untuk varians populasi.
Varians sampel
Kita perlu memperkirakan varians populasi dengan varians sampel, dilambangkan dengan s2. Jadi kita mulai dengan menghitung statistik ini. Pada dasarnya kami rata - rata jumlah penyimpangan kuadrat dari mean. Namun, daripada membagi jumlah ini dengan n kita membaginya dengan n - 1.
Kami menemukan bahwa mean sampel adalah 104.2. Dengan menggunakan ini, kita memiliki jumlah penyimpangan kuadrat dari rata-rata yang diberikan oleh:
(97 – 104.2)2 + (75 – 104.3)2 +... + (96 – 104.2)2 + (102 – 104.2)2 = 2495.6
Kami membagi jumlah ini dengan 10 - 1 = 9 untuk mendapatkan varians sampel 277.
Distribusi Chi-Square
Kami sekarang beralih ke distribusi chi-square kami. Karena kami memiliki 10 nilai data, kami memiliki 9 derajat kebebasan. Karena kami menginginkan 95% tengah dari distribusi kami, kami membutuhkan 2,5% di masing-masing dari dua ekor. Kami berkonsultasi dengan tabel chi-square atau perangkat lunak dan melihat bahwa nilai tabel 2.7004 dan 19.023 melingkupi 95% area distribusi. Angka-angka ini adalah SEBUAH dan Bmasing-masing.
Kami sekarang memiliki semua yang kami butuhkan, dan kami siap untuk mengumpulkan interval kepercayaan kami. Rumus untuk titik akhir kiri adalah [(n - 1)s2] / B. Ini berarti titik akhir kiri kami adalah:
(9 x 277) /19.023 = 133
Titik akhir yang tepat ditemukan dengan mengganti B dengan SEBUAH:
(9 x 277) /2.7004 = 923
Dan kami yakin 95% bahwa varians populasi berada di antara 133 dan 923.
Simpangan Baku Penduduk
Tentu saja, karena standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians, metode ini dapat digunakan untuk membangun interval kepercayaan untuk standar deviasi populasi. Yang perlu kita lakukan hanyalah mengambil akar kuadrat dari titik akhir. Hasilnya akan menjadi interval kepercayaan 95% untuk standar deviasi.