Memecahkan Persamaan: Pertumbuhan Eksponensial

Fungsi eksponensial menceritakan kisah perubahan eksplosif. Dua jenis fungsi eksponensial adalah pertumbuhan eksponensial dan peluruhan eksponensial. Empat variabel - perubahan persen, waktu, jumlah pada awal periode waktu, dan jumlah pada akhir periode waktu - memainkan peran dalam fungsi eksponensial. Artikel ini berfokus pada bagaimana menggunakan masalah kata untuk menemukan jumlah pada awal periode waktu, Sebuah.

Pertumbuhan eksponensial: perubahan yang terjadi ketika jumlah awal ditingkatkan dengan tingkat yang konsisten selama periode waktu tertentu

Penggunaan Pertumbuhan Eksponensial dalam Kehidupan Nyata:

• Nilai harga rumah
• Nilai investasi
• Peningkatan keanggotaan situs jejaring sosial populer

Inilah fungsi pertumbuhan eksponensial:

y = Sebuah(1 + b)^x

• y: Jumlah final tersisa selama periode waktu tertentu
• Sebuah: Jumlah aslinya
• x: Waktu
• Itu faktor pertumbuhan adalah (1 + b).
• Variabel, b, adalah persen perubahan dalam bentuk desimal.

Jika Anda membaca artikel ini, maka Anda mungkin ambisius. Enam tahun dari sekarang, mungkin Anda ingin mengejar gelar sarjana di Dream University. Dengan label harga $ 120.000, Dream University membangkitkan teror keuangan malam. Setelah malam tanpa tidur, Anda, Ibu, dan Ayah bertemu dengan perencana keuangan. Mata merah tua orang tua Anda cerah ketika perencana mengungkapkan investasi dengan tingkat pertumbuhan 8% yang dapat membantu keluarga Anda mencapai target $ 120.000. Belajar dengan giat. Jika Anda dan orang tua Anda berinvestasi $ 75.620,36 hari ini, maka Dream University akan menjadi kenyataan Anda.

Fungsi ini menjelaskan pertumbuhan investasi secara eksponensial:

120,000 = Sebuah(1 +.08)⁶

• 120.000: Jumlah final tersisa setelah 6 tahun
• .08: Tingkat pertumbuhan tahunan
• 6: Jumlah tahun untuk investasi tumbuh
• a: Jumlah awal yang diinvestasikan keluarga Anda

Petunjuk: Berkat properti simetris kesetaraan, 120.000 = Sebuah(1 +.08)⁶ sama dengan Sebuah(1 +.08)⁶ = 120,000. (Properti simetris persamaan: Jika 10 + 5 = 15, maka 15 = 10 +5.)

Jika Anda lebih suka menulis ulang persamaan dengan konstanta, 120.000, di sebelah kanan persamaan, maka lakukanlah.

Sebuah(1 +.08)⁶ = 120,000

Memang, persamaan itu tidak terlihat seperti persamaan linear (6Sebuah = $ 120.000), tetapi dapat dipecahkan. Tetap dengan itu!

Sebuah(1 +.08)⁶ = 120,000

Hati-hati: Jangan pecahkan persamaan eksponensial ini dengan membagi 120.000 dengan 6. Ini adalah matematika yang menggiurkan, tidak, tidak.

1. Menggunakan Urutan Operasi untuk menyederhanakan.

Sebuah(1 +.08)⁶ = 120,000
Sebuah(1.08)⁶ = 120.000 (Parenthesis)
Sebuah(1,586874323) = 120.000 (Eksponen)

2. Selesaikan dengan Membagi

Sebuah(1.586874323) = 120,000
Sebuah(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)
1Sebuah = 75,620.35523
Sebuah = 75,620.35523

Jumlah awal untuk berinvestasi adalah sekitar $ 75.620,36.

3. Bekukan - Anda belum selesai. Gunakan urutan operasi untuk memeriksa jawaban Anda.

120,000 = Sebuah(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶
120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Kurung)
120.000 = 75.620.35523 (1,586874323) (Eksponen)
120.000 = 120.000 (Perkalian)

Lembar Kerja Asli

Petani dan Teman
Gunakan informasi tentang situs jejaring sosial petani untuk menjawab pertanyaan 1-5.

Seorang petani memulai situs jejaring sosial, farmerandfriends.org, yang membagikan kiat berkebun di halaman belakang. Ketika farmerandfriends.org memungkinkan anggota untuk mengirim foto dan video, keanggotaan situs web tumbuh secara eksponensial. Inilah fungsi yang menggambarkan pertumbuhan eksponensial itu.

120,000 = Sebuah(1 + .40)⁶

1. Berapa banyak orang yang menjadi anggota farmerandfriends.org 6 bulan setelah itu mengaktifkan berbagi foto dan berbagi video? 120.000 orang
   Bandingkan fungsi ini dengan fungsi pertumbuhan eksponensial asli:
   120,000 = Sebuah(1 + .40)⁶
   y = Sebuah(1 +b)^x
   Jumlah aslinya, y, 120.000 dalam fungsi ini tentang jejaring sosial.
2. Apakah fungsi ini mewakili pertumbuhan eksponensial atau pembusukan? Fungsi ini mewakili pertumbuhan eksponensial karena dua alasan. Alasan 1: Paragraf informasi mengungkapkan bahwa "keanggotaan situs web tumbuh secara eksponensial." Alasan 2: Tanda positif ada di depan b, persentase perubahan bulanan.
3. Berapa persen kenaikan atau penurunan bulanan? Peningkatan persen bulanan adalah 40%, 0,40 ditulis sebagai persen.
4. Berapa banyak anggota milik farmerandfriends.org 6 bulan lalu, tepat sebelum berbagi foto dan berbagi video diperkenalkan? Sekitar 15.937 anggota
   Gunakan Urutan Operasi untuk menyederhanakan.
   120,000 = Sebuah(1.40)⁶
   120,000 = Sebuah(7.529536)
   Membagi untuk dipecahkan.
   120,000/7.529536 = Sebuah(7.529536)/7.529536
   15,937.23704 = 1Sebuah
   15,937.23704 = Sebuah
   Gunakan Urutan Operasi untuk memeriksa jawaban Anda.
   120,000 = 15,937.23704(1 + .40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(1.40)⁶
   120,000 = 15,937.23704(7.529536)
   120,000 = 120,000
5. Jika tren ini berlanjut, berapa banyak anggota yang akan menjadi anggota situs web 12 bulan setelah pengenalan berbagi foto dan berbagi video? Sekitar 903.544 anggota
   Masukkan apa yang Anda ketahui tentang fungsi tersebut. Ingat, kali ini kamu punya Sebuah, jumlah aslinya. Anda sedang memecahkannya y, jumlah yang tersisa pada akhir periode waktu.
   y = Sebuah(1 + .40)^x
   y = 15,937.23704(1+.40)¹²
   Gunakan Urutan Operasi untuk menemukan y.
   y = 15,937.23704(1.40)¹²
   y = 15,937.23704(56.69391238)
   y = 903,544.3203