Salah satu cara untuk menghitung rata-rata dan varians dari a distribusi kemungkinan adalah untuk menemukan nilai yang diharapkan dari variabel acak X dan X2. Kami menggunakan notasi E(X) dan E(X2) untuk menunjukkan nilai yang diharapkan ini. Secara umum, sulit untuk menghitung E(X) dan E(X2) secara langsung. Untuk mengatasi kesulitan ini, kami menggunakan beberapa teori dan kalkulus matematika yang lebih maju. Hasil akhirnya adalah sesuatu yang membuat perhitungan kita lebih mudah.
Strategi untuk masalah ini adalah mendefinisikan fungsi baru, dari variabel baru t yang disebut fungsi menghasilkan momen. Fungsi ini memungkinkan kita untuk menghitung momen hanya dengan mengambil turunan.
Asumsi
Sebelum kita mendefinisikan fungsi pembangkit momen, kita mulai dengan mengatur panggung dengan notasi dan definisi. Kami membiarkan X menjadi variabel acak diskrit. Variabel acak ini memiliki fungsi massa probabilitas f(x). Ruang sampel yang kami kerjakan akan dilambangkan dengan S.
Daripada menghitung nilai yang diharapkan dari
X, kami ingin menghitung nilai yang diharapkan dari fungsi eksponensial yang terkait dengan X. Jika ada yang positif bilangan realr seperti yang E(etX) ada dan terbatas untuk semua t dalam interval [-r, r], maka kita dapat mendefinisikan fungsi pembangkit momen X.Definisi
Fungsi menghasilkan momen adalah nilai yang diharapkan dari fungsi eksponensial di atas. Dengan kata lain, kita katakan bahwa momen menghasilkan fungsi X diberikan oleh:
M.(t) = E(etX)
Nilai yang diharapkan ini adalah rumus Σ etxf (x), di mana penjumlahan diambil atas semua x dalam ruang sampelS. Ini bisa menjadi jumlah terbatas atau tidak terbatas, tergantung pada ruang sampel yang digunakan.
Properti
Fungsi menghasilkan momen memiliki banyak fitur yang terhubung ke topik lain dalam statistik probabilitas dan matematika. Beberapa fitur terpentingnya meliputi:
- Koefisien dari etb adalah probabilitas itu X = b.
- Fungsi pembangkit momen memiliki properti keunikan. Jika momen menghasilkan fungsi untuk dua variabel acak cocok satu sama lain, maka fungsi massa probabilitas harus sama. Dengan kata lain, variabel acak menggambarkan distribusi probabilitas yang sama.
- Fungsi pembangkit momen dapat digunakan untuk menghitung momen X.
Menghitung Momen
Item terakhir dalam daftar di atas menjelaskan nama fungsi yang menghasilkan momen dan juga kegunaannya. Beberapa matematika tingkat lanjut mengatakan bahwa dalam kondisi yang kami letakkan, turunan dari setiap urutan fungsi M. (t) ada untuk kapan t = 0. Selanjutnya, dalam hal ini, kita dapat mengubah urutan penjumlahan dan diferensiasi sehubungan dengan t untuk mendapatkan formula berikut (semua penjumlahan melebihi nilai dari x di ruang sampel S):
- M.’(t) = Σ xetxf (x)
- M.’’(t) = Σ x2etxf (x)
- M.’’’(t) = Σ x3etxf (x)
- M.(n)’(t) = Σ xnetxf (x)
Jika kita atur t = 0 dalam rumus di atas, lalu etx istilah menjadi e0 = 1. Jadi kita mendapatkan rumus untuk saat-saat variabel acak X:
- M.’(0) = E(X)
- M.’’(0) = E(X2)
- M.’’’(0) = E(X3)
- M.(n)(0) = E(Xn)
Ini berarti bahwa jika fungsi pembangkit momen ada untuk variabel acak tertentu, maka kita dapat menemukan rerata dan variansinya dalam hal turunan dari fungsi pembangkit momen. Maksudnya adalah M.’(0), dan variansnya adalah M.’’(0) – [M.’(0)]2.
Ringkasan
Singkatnya, kami harus mengarungi beberapa matematika bertenaga tinggi, sehingga beberapa hal terselubung. Meskipun kita harus menggunakan kalkulus untuk hal di atas, pada akhirnya, pekerjaan matematika kita biasanya lebih mudah daripada dengan menghitung momen langsung dari definisi.