Apakah Aksioma Probabilitas?

Salah satu strategi dalam matematika adalah memulai dengan beberapa pernyataan, kemudian membangun lebih banyak matematika dari pernyataan-pernyataan ini. Pernyataan awal dikenal sebagai aksioma. Aksioma biasanya adalah sesuatu yang secara matematis terbukti dengan sendirinya. Dari daftar aksioma yang relatif singkat, logika deduktif digunakan untuk membuktikan pernyataan lain, yang disebut teorema atau proposisi.

Area matematika yang dikenal sebagai probabilitas tidak berbeda. Probabilitas dapat dikurangi menjadi tiga aksioma. Ini pertama kali dilakukan oleh ahli matematika Andrei Kolmogorov. Sejumlah aksioma yang mendasari probabilitas dapat digunakan untuk menyimpulkan semua macam hasil. Tapi apa aksioma probabilitas ini?

Untuk memahami aksioma probabilitas, pertama-tama kita harus membahas beberapa definisi dasar. Kami menduga bahwa kami memiliki serangkaian hasil yang disebut ruang sampel S. Ruang sampel ini dapat dianggap sebagai set universal untuk situasi yang sedang kita pelajari. Ruang sampel terdiri dari himpunan bagian yang disebut peristiwa

Kami juga berasumsi bahwa ada cara menetapkan probabilitas untuk peristiwa apa pun E. Ini dapat dianggap sebagai fungsi yang memiliki set untuk input, dan a bilangan real sebagai output. Probabilitas dari peristiwaE dilambangkan dengan P(E).

Aksioma pertama probabilitas adalah bahwa probabilitas peristiwa apa pun adalah bilangan real non-negatif. Ini berarti bahwa probabilitas terkecil yang pernah ada adalah nol dan tidak mungkin tanpa batas. Himpunan angka yang dapat kita gunakan adalah bilangan real. Ini mengacu pada bilangan rasional, juga dikenal sebagai pecahan, dan bilangan irasional yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan.

Satu hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa aksioma ini tidak mengatakan apa-apa tentang seberapa besar kemungkinan suatu kejadian. Aksioma memang menghilangkan kemungkinan probabilitas negatif. Ini mencerminkan gagasan bahwa probabilitas terkecil, yang disediakan untuk peristiwa-peristiwa yang mustahil, adalah nol.

Aksioma kedua probabilitas adalah bahwa probabilitas seluruh ruang sampel adalah satu. Secara simbolis kita menulis P(S) = 1. Tersirat dalam aksioma ini adalah gagasan bahwa ruang sampel adalah segalanya mungkin untuk percobaan probabilitas kami dan bahwa tidak ada peristiwa di luar ruang sampel.

Dengan sendirinya, aksioma ini tidak menetapkan batas atas pada probabilitas peristiwa yang bukan seluruh ruang sampel. Itu mencerminkan bahwa sesuatu dengan kepastian absolut memiliki probabilitas 100%.

Aksioma probabilitas ketiga berkaitan dengan peristiwa yang saling eksklusif. Jika E₁ dan E₂ adalah saling eksklusif, artinya mereka memiliki persimpangan kosong dan kami menggunakan U untuk menunjukkan persatuan, kemudian P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Aksioma ini sebenarnya mencakup situasi dengan beberapa peristiwa (bahkan tak terhitung jumlahnya), yang masing-masing pasangannya saling eksklusif. Selama ini terjadi, itu probabilitas persatuan dari peristiwa adalah sama dengan jumlah dari probabilitas:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Meskipun aksioma ketiga ini mungkin tidak tampak bermanfaat, kita akan melihat bahwa jika dikombinasikan dengan dua aksioma lainnya, ia memang sangat kuat.

Tiga aksioma menetapkan batas atas untuk probabilitas peristiwa apa pun. Kami menunjukkan pelengkap acara E oleh E^C. Dari teori himpunan, E dan E^C memiliki persimpangan kosong dan saling eksklusif. Selanjutnya E U E^C = S, seluruh ruang sampel.

Fakta-fakta ini, dikombinasikan dengan aksioma memberi kita:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Kami mengatur ulang persamaan di atas dan melihatnya P(E) = 1 - P(E^C). Karena kita tahu bahwa probabilitas harus bukan negatif, kita sekarang memiliki batas atas untuk probabilitas peristiwa apa pun adalah 1.

Dengan mengatur ulang formula lagi yang kita miliki P(E^C) = 1 - P(E). Kita juga dapat menyimpulkan dari rumus ini bahwa probabilitas suatu peristiwa tidak terjadi adalah satu dikurangi probabilitas bahwa itu memang terjadi.

Persamaan di atas juga memberi kita cara untuk menghitung probabilitas peristiwa yang mustahil, dilambangkan dengan set kosong. Untuk melihat ini, ingat bahwa set kosong adalah pelengkap set universal, dalam hal ini S^C. Sejak 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), dengan aljabar yang kita miliki P(S^C) = 0.

Di atas hanyalah beberapa contoh sifat yang dapat dibuktikan langsung dari aksioma. Ada banyak hasil dalam probabilitas. Tetapi semua teorema ini adalah ekstensi logis dari tiga aksioma probabilitas.