Cara Menghitung Peluang Powerball

Powerball adalah perusahaan multistat lotre yang cukup populer karena jackpot bernilai jutaan dolar. Beberapa jackpot ini mencapai nilai lebih dari $ 100 juta. Ion pencarian yang menarik dari a probabilistik akal adalah, "Bagaimana kabarnya peluang dihitung berdasarkan kemungkinan kemenangan Powerball? "

Pertama kita akan memeriksa aturan Powerball karena saat ini dikonfigurasi. Selama masing-masing gambar, dua drum penuh bola dicampur dan diacak secara acak. Drum pertama berisi bola putih bernomor 1 hingga 59. Lima ditarik tanpa penggantian dari drum ini. Drum kedua memiliki bola merah yang diberi nomor 1-35. Salah satunya ditarik. Tujuannya adalah untuk mencocokkan angka-angka ini sebanyak mungkin.

Jackpot penuh dimenangkan ketika semua enam angka yang dipilih oleh pemain cocok dengan bola yang ditarik. Ada hadiah dengan nilai lebih rendah untuk pencocokan parsial, dengan total sembilan cara berbeda untuk memenangkan sejumlah dolar dari Powerball. Cara-cara kemenangan ini adalah:

• Mencocokkan kelima bola putih dan bola merah memenangkan hadiah utama. Nilai ini bervariasi tergantung pada berapa lama sejak seseorang memenangkan hadiah utama ini.
• Mencocokkan semua lima bola putih tetapi bukan bola merah yang memenangkan $ 1.000.000.
• Mencocokkan dengan tepat empat dari lima bola putih dan bola merah memenangkan $ 10.000.
• Mencocokkan dengan tepat empat dari lima bola putih tetapi bola merah tidak memenangkan $ 100.
• Mencocokkan dengan tepat tiga dari lima bola putih dan bola merah menang $ 100.
• Mencocokkan dengan tepat tiga dari lima bola putih tetapi bukan bola merah yang memenangkan $ 7.
• Mencocokkan dengan tepat dua dari lima bola putih dan bola merah memenangkan $ 7.
• Mencocokkan dengan tepat satu dari lima bola putih dan bola merah memenangkan $ 4.
• Mencocokkan hanya bola merah tetapi tidak ada bola putih yang memenangkan $ 4.

Kami akan melihat bagaimana cara menghitung masing-masing probabilitas ini. Sepanjang perhitungan ini, penting untuk dicatat bahwa urutan bagaimana bola keluar dari drum tidak penting. Satu-satunya hal yang penting adalah set bola yang ditarik. Karena alasan ini perhitungan kami melibatkan kombinasi dan bukan permutasi.

Juga berguna dalam setiap perhitungan di bawah ini adalah jumlah total kombinasi yang dapat ditarik. Kami telah memilih lima dari 59 bola putih, atau menggunakan notasi untuk kombinasi, C (59, 5) = 5.006.386 cara agar hal ini terjadi. Ada 35 cara untuk memilih bola merah, menghasilkan 35 x 5.006.386 = 175.223.510 pilihan yang mungkin.

Meskipun jackpot yang cocok dengan semua enam bola adalah yang paling sulit diperoleh, itu adalah probabilitas termudah untuk menghitung. Dari banyaknya 175.223.510 pilihan yang mungkin, ada satu cara pasti untuk memenangkan jackpot. Dengan demikian probabilitas bahwa tiket tertentu memenangkan jackpot adalah 1 / 175.223.510.

Untuk memenangkan $ 1.000.000 kita harus mencocokkan lima bola putih, tetapi bukan bola merah. Hanya ada satu cara untuk mencocokkan kelima. Ada 34 cara untuk tidak menyamai bola merah. Jadi probabilitas memenangkan $ 1.000.000 adalah 34 / 175.223.510, atau sekitar 1 / 5.153.633.

Untuk hadiah $ 10.000, kita harus mencocokkan empat dari lima bola putih dan bola merah. Ada C (5,4) = 5 cara untuk mencocokkan empat dari lima. Bola kelima harus menjadi salah satu dari 54 yang tersisa yang tidak ditarik, sehingga ada C (54, 1) = 54 cara agar hal ini terjadi. Hanya ada 1 cara untuk mencocokkan bola merah. Ini berarti bahwa ada 5 x 54 x 1 = 270 cara untuk mencocokkan dengan tepat empat bola putih dan bola merah, memberikan kemungkinan 270 / 175.223.510, atau sekitar 1 / 648.976.

Salah satu cara untuk memenangkan hadiah $ 100 adalah dengan mencocokkan empat dari lima bola putih dan tidak cocok dengan yang merah. Seperti dalam kasus sebelumnya, ada C (5,4) = 5 cara untuk mencocokkan empat dari lima. Bola kelima harus menjadi salah satu dari 54 yang tersisa yang tidak ditarik, sehingga ada C (54, 1) = 54 cara agar hal ini terjadi. Kali ini, ada 34 cara untuk tidak menyamai bola merah. Ini berarti bahwa ada 5 x 54 x 34 = 9180 cara untuk mencocokkan dengan tepat empat bola putih tetapi tidak yang merah, memberikan probabilitas 9180 / 175.223.510, atau sekitar 1 / 19.088.

Cara lain untuk memenangkan hadiah $ 100 adalah mencocokkan dengan tepat tiga dari lima bola putih dan juga mencocokkan yang merah. Ada C (5,3) = 10 cara untuk mencocokkan tiga dari lima. Bola putih yang tersisa harus menjadi salah satu dari 54 yang tersisa yang tidak ditarik, dan ada C (54, 2) = 1431 cara untuk ini terjadi. Ada satu cara untuk mencocokkan bola merah. Ini berarti bahwa ada 10 x 1431 x 1 = 14.310 cara untuk mencocokkan dengan tepat tiga bola putih dan bola merah, memberikan probabilitas 14.310 / 175.223.510, atau sekitar 1 / 12.245.

Satu cara untuk memenangkan hadiah sebesar $ 7 adalah dengan mencocokkan dengan tepat tiga dari lima bola putih dan tidak cocok dengan yang merah. Ada C (5,3) = 10 cara untuk mencocokkan tiga dari lima. Bola putih yang tersisa harus menjadi salah satu dari 54 yang tersisa yang tidak ditarik, dan ada C (54, 2) = 1431 cara untuk ini terjadi. Kali ini ada 34 cara agar tidak cocok dengan bola merah. Ini berarti bahwa ada 10 x 1431 x 34 = 486.540 cara untuk mencocokkan dengan tepat tiga bola putih tetapi bukan bola putih, memberikan kemungkinan 486.540 / 175.223.510, atau sekitar 1/360.

Cara lain untuk memenangkan hadiah $ 7 adalah dengan mencocokkan dengan tepat dua dari lima bola putih dan juga cocok dengan yang merah. Ada C (5,2) = 10 cara untuk mencocokkan dua dari lima. Bola putih yang tersisa harus menjadi salah satu dari 54 yang tersisa yang tidak ditarik, dan ada C (54, 3) = 24.804 cara agar hal ini terjadi. Ada satu cara untuk mencocokkan bola merah. Ini berarti bahwa ada 10 x 24.804 x 1 = 248.040 cara untuk mencocokkan dengan tepat dua bola putih dan bola merah, memberikan kemungkinan 248.040 / 175.223.510, atau sekitar 1/706.

Salah satu cara untuk memenangkan hadiah $ 4 adalah dengan mencocokkan tepat satu dari lima bola putih dan juga mencocokkan yang merah. Ada C (5,4) = 5 cara untuk mencocokkan satu dari lima. Bola putih yang tersisa harus menjadi salah satu dari 54 yang tersisa yang tidak ditarik, dan ada C (54, 4) = 316.251 cara agar hal ini terjadi. Ada satu cara untuk mencocokkan bola merah. Ini berarti bahwa ada 5 x 316.251 x1 = 1.581.255 cara untuk mencocokkan persis satu bola putih dan bola merah, memberikan probabilitas 1.581.255 / 175.223.510, atau sekitar 1/111.

Cara lain untuk memenangkan hadiah $ 4 adalah dengan mencocokkan tidak satu pun dari lima bola putih tetapi cocok dengan yang merah. Ada 54 bola yang bukan salah satu dari lima bola yang dipilih, dan kami memiliki C (54, 5) = 3.162.510 cara agar hal ini terjadi. Ada satu cara untuk mencocokkan bola merah. Ini berarti bahwa ada 3.162.510 cara untuk tidak menandingi satu pun bola kecuali yang merah, memberikan probabilitas 3.162.510 / 175.223.510, atau sekitar 1/55.

Kasus ini agak berlawanan dengan intuisi. Ada 36 bola merah, jadi kita mungkin berpikir bahwa kemungkinan mencocokkan salah satunya adalah 1/36. Namun, ini mengabaikan kondisi lain yang dikenakan oleh bola putih. Banyak kombinasi yang melibatkan bola merah yang benar juga termasuk pertandingan pada beberapa bola putih juga.