Probabilitas Bersyarat: Notasi dan Contoh

Contoh langsung dari bersyarat kemungkinan adalah probabilitas bahwa kartu yang diambil dari tumpukan kartu standar adalah raja. Ada total empat raja dari 52 kartu, dan probabilitasnya adalah 4/52. Terkait dengan perhitungan ini adalah pertanyaan berikut: "Berapa probabilitas kita menggambar seorang raja mengingat hal itu kita sudah mengambil kartu dari geladak dan itu kartu as? "Di sini kita mempertimbangkan isi geladak kartu-kartu. Masih ada empat raja, tetapi sekarang hanya ada 51 kartu di dek. Probabilitas menggambar raja mengingat bahwa ace telah ditarik adalah 4/51.

Peluang bersyarat didefinisikan sebagai probabilitas suatu peristiwa mengingat bahwa peristiwa lain telah terjadi. Jika kita beri nama acara ini SEBUAH dan B, maka kita dapat berbicara tentang kemungkinan SEBUAH diberikan B. Kita juga bisa merujuk pada probabilitas SEBUAH tergantung pada B.

Notasi untuk probabilitas bersyarat bervariasi dari buku teks ke buku teks. Dalam semua notasi, indikasinya adalah bahwa probabilitas yang kita maksud tergantung pada peristiwa lain. Salah satu notasi yang paling umum untuk probabilitas

Ada rumus untuk probabilitas bersyarat yang menghubungkan ini dengan probabilitas SEBUAH dan B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Pada dasarnya apa yang dikatakan rumus ini adalah untuk menghitung probabilitas bersyarat acara SEBUAH diberikan acara tersebut B, kami mengubah ruang sampel menjadi hanya terdiri dari set B. Dalam melakukan ini, kami tidak mempertimbangkan semua acara SEBUAH, tetapi hanya bagian dari SEBUAH yang juga terkandung dalam B. Himpunan yang baru saja kami jelaskan dapat diidentifikasi dengan istilah yang lebih dikenal sebagai persimpangan dari SEBUAH dan B.

Kita bisa menggunakan aljabar untuk mengekspresikan rumus di atas dengan cara yang berbeda:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Kami akan meninjau kembali contoh yang kami mulai dengan informasi ini. Kami ingin tahu kemungkinan menggambar raja mengingat bahwa ace telah ditarik. Demikian acara SEBUAH adalah bahwa kita menggambar seorang raja. Peristiwa B adalah bahwa kita menggambar kartu as.

Probabilitas bahwa kedua peristiwa terjadi dan kita menggambar ace dan kemudian raja berkorespondensi dengan P (A ∩ B). Nilai probabilitas ini adalah 12/2652. Peluang kejadian B, yang kami gambar kartu as adalah 4/52. Jadi kita menggunakan rumus probabilitas bersyarat dan melihat bahwa probabilitas menggambar raja yang diberikan daripada ace telah ditarik adalah (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Sebagai contoh lain, kita akan melihat percobaan probabilitas di mana kita menggulung dua dadu. Sebuah pertanyaan yang bisa kita tanyakan adalah, "Berapa probabilitas kita telah menggulung tiga, mengingat kita telah menggulirkan jumlah kurang dari enam?"

Sini acara SEBUAH adalah bahwa kita telah menggulung tiga, dan acara tersebut B adalah bahwa kita telah menggulirkan jumlah kurang dari enam. Ada total 36 cara untuk melempar dua dadu. Dari 36 cara ini, kita dapat menghasilkan jumlah kurang dari enam dalam sepuluh cara:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Ada beberapa contoh di mana probabilitas bersyarat SEBUAH diberikan acara tersebut B sama dengan probabilitas SEBUAH. Dalam situasi ini, kita katakan bahwa peristiwa SEBUAH dan B independen satu sama lain. Formula di atas menjadi:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

dan kami memulihkan rumus bahwa untuk peristiwa independen probabilitas keduanya SEBUAH dan B ditemukan dengan mengalikan probabilitas masing-masing peristiwa ini:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Ketika dua peristiwa independen, ini berarti bahwa satu peristiwa tidak berpengaruh pada yang lain. Membalik satu koin dan kemudian lainnya adalah contoh peristiwa independen. Satu flip koin tidak berpengaruh pada yang lain.

Berhati-hatilah untuk mengidentifikasi acara mana yang bergantung pada yang lain. Secara umum P (A | B) tidak sama dengan P (B | A). Itu adalah probabilitas SEBUAH diberikan acara tersebut B tidak sama dengan probabilitas B diberikan acara tersebut SEBUAH.

Dalam contoh di atas kita melihat bahwa dalam menggulirkan dua dadu, kemungkinan menggulirkan tiga, mengingat bahwa kita telah menggulirkan jumlah kurang dari enam adalah 4/10. Di sisi lain, berapakah probabilitas menggulirkan jumlah yang kurang dari enam mengingat kita telah menggulung tiga? Peluang untuk menggulung tiga dan jumlah kurang dari enam adalah 4/36. Peluang untuk menggulung setidaknya satu tiga adalah 11/36. Jadi probabilitas bersyarat dalam kasus ini adalah (4/36) / (11/36) = 4/11.