Fungsi Menghasilkan Saat untuk Distribusi Binomial

Mean dan varians dari variabel acak X dengan distribusi probabilitas binomial bisa sulit untuk menghitung secara langsung. Meskipun bisa jelas apa yang perlu dilakukan dalam menggunakan definisi nilai yang diharapkan dari X dan X², pelaksanaan sebenarnya dari langkah-langkah ini adalah sulap rumit aljabar dan penjumlahan. Cara alternatif untuk menentukan rata-rata dan varians dari a distribusi binomial adalah menggunakan fungsi menghasilkan momen untuk X.

Mulai dengan variabel acak X dan jelaskan distribusi kemungkinan lebih spesifik. Melakukan n uji coba Bernoulli independen, yang masing-masing memiliki probabilitas keberhasilan hal dan probabilitas kegagalan 1 - hal. Dengan demikian fungsi massa probabilitas adalah

f (x) = C(n, x)hal^x(1 – hal)^{n - x}

Ini istilahnya C(n, x) menunjukkan jumlah kombinasi dari n elemen yang diambil x pada suatu waktu, dan x dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3,. .., n.

Gunakan fungsi massa probabilitas ini untuk mendapatkan fungsi pembangkit momen X:

M.(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)hal^x(1 – hal)^{n - x}.

Menjadi jelas bahwa Anda dapat menggabungkan istilah dengan eksponen x:

M.(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – hal)^{n - x}.

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus binomial, ungkapan di atas adalah sederhana:

M.(t) = [(1 – hal) + pe^t]ⁿ.

Untuk menemukan berarti dan varians, Anda harus tahu keduanya M.’(0) dan M.’’(0). Mulailah dengan menghitung turunan Anda, dan kemudian evaluasi masing-masing di t = 0.

Anda akan melihat bahwa turunan pertama dari fungsi pembangkit momen adalah:

M.’(t) = n(pe^t)[(1 – hal) + pe^t]^{n - 1}.

Dari ini, Anda dapat menghitung rata-rata distribusi probabilitas. M.(0) = n(pe⁰)[(1 – hal) + pe⁰]^{n - 1} = np. Ini cocok dengan ungkapan yang kami peroleh langsung dari definisi rata-rata.

Perhitungan varians dilakukan dengan cara yang sama. Pertama, bedakan fungsi pembangkit momen lagi, dan kemudian kami mengevaluasi turunan ini di t = 0. Di sini Anda akan melihat itu

M.’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – hal) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – hal) + pe^t]^{n - 1}.

Untuk menghitung varians dari variabel acak ini, Anda perlu mencari M.’’(t). Di sini Anda miliki M.’’(0) = n(n - 1)hal² +np. Varians σ² distribusi Anda

σ² = M.’’(0) – [M.’(0)]² = n(n - 1)hal² +np - (np)² = np(1 - hal).

Meskipun metode ini agak terlibat, tidak serumit menghitung mean dan varians langsung dari fungsi massa probabilitas.