Derajat Kebebasan untuk Kemerdekaan dalam Tabel Dua Arah

Jumlah derajat kebebasan untuk independensi dua variabel kategori diberikan oleh rumus sederhana: (r - 1)(c - 1). Sini r adalah jumlah baris dan c adalah jumlah kolom dalam meja dua arah dari nilai-nilai variabel kategorikal. Baca terus untuk mengetahui lebih lanjut tentang topik ini dan untuk memahami mengapa rumus ini memberikan angka yang benar.

Satu langkah dalam proses banyak tes hipotesis adalah penentuan jumlah derajat kebebasan. Angka ini penting karena untuk distribusi probabilitas yang melibatkan keluarga distribusi, seperti distribusi chi-square, jumlah derajat kebebasan menunjukkan dengan tepat distribusi yang tepat dari keluarga yang seharusnya kita gunakan dalam hipotesis kita uji.

Derajat kebebasan mewakili jumlah pilihan bebas yang bisa kita buat dalam situasi tertentu. Salah satu tes hipotesis yang mengharuskan kita untuk menentukan derajat kebebasan adalah chi-square menguji independensi untuk dua variabel kategori.

Tes chi-square untuk independensi meminta kita untuk membangun tabel dua arah, juga dikenal sebagai tabel kontingensi. Jenis tabel ini memiliki r baris dan c kolom, mewakili r tingkat satu variabel kategori dan c tingkat variabel kategori lainnya. Jadi, jika kita tidak menghitung baris dan kolom di mana kita mencatat total, ada total rc sel dalam tabel dua arah.

Uji chi-square untuk independensi memungkinkan kita untuk menguji hipotesis bahwa kategorikal variabel independen satu sama lain. Seperti yang kami sebutkan di atas, r baris dan c kolom dalam tabel memberi kita (r - 1)(c - 1) derajat kebebasan. Tetapi mungkin tidak segera jelas mengapa ini adalah jumlah derajat kebebasan yang benar.

Untuk melihat mengapa (r - 1)(c - 1) adalah angka yang benar, kami akan memeriksa situasi ini lebih terinci. Misalkan kita tahu total marginal untuk masing-masing level variabel kategorikal kita. Dengan kata lain, kita tahu total untuk setiap baris dan total untuk setiap kolom. Untuk baris pertama, ada c kolom di tabel kami, jadi ada c sel. Setelah kita mengetahui nilai semua kecuali satu sel ini, maka karena kita tahu total semua sel, itu adalah masalah aljabar sederhana untuk menentukan nilai sel yang tersisa. Jika kita mengisi sel-sel tabel kita ini, kita bisa masuk c - 1 dari mereka secara bebas, tetapi kemudian sel yang tersisa ditentukan oleh total baris. Jadi ada c - 1 derajat kebebasan untuk baris pertama.

Kami melanjutkan dengan cara ini untuk baris berikutnya, dan ada lagi c - 1 derajat kebebasan. Proses ini berlanjut sampai kita mencapai baris kedua dari belakang. Masing-masing baris kecuali untuk yang terakhir berkontribusi c - 1 derajat kebebasan total. Pada saat kita memiliki semua kecuali baris terakhir, maka karena kita tahu jumlah kolom kita dapat menentukan semua entri dari baris terakhir. Ini memberi kita r - 1 baris dengan c - 1 derajat kebebasan di masing-masing, dengan total (r - 1)(c - 1) derajat kebebasan.

Kami melihat ini dengan contoh berikut. Misalkan kita memiliki tabel dua arah dengan dua variabel kategori. Satu variabel memiliki tiga level dan yang lainnya memiliki dua. Selanjutnya, anggaplah kita tahu total baris dan kolom untuk tabel ini:

Rumusnya memprediksi bahwa ada (3-1) (2-1) = 2 derajat kebebasan. Kami melihat ini sebagai berikut. Misalkan kita mengisi sel kiri atas dengan angka 80. Ini akan secara otomatis menentukan seluruh entri baris pertama:

Sekarang jika kita tahu bahwa entri pertama di baris kedua adalah 50, maka sisa tabel diisi, karena kita tahu total setiap baris dan kolom:

Tabel sudah terisi penuh, tetapi kami hanya memiliki dua pilihan gratis. Setelah nilai-nilai ini diketahui, seluruh tabel ditentukan sepenuhnya.

Meskipun kita biasanya tidak perlu tahu mengapa ada banyak derajat kebebasan ini, baik untuk mengetahui bahwa kita benar-benar hanya menerapkan konsep derajat kebebasan pada situasi baru.