Probabilitas Menggulirkan Yahtzee

Yahtzee adalah permainan dadu yang melibatkan kombinasi peluang dan strategi. Seorang pemain memulai giliran mereka dengan memutar lima dadu. Setelah roll ini, pemain dapat memutuskan untuk melempar kembali jumlah dadu. Paling banyak, ada total tiga gulungan untuk setiap belokan. Setelah tiga gulungan ini, hasil dadu dimasukkan ke dalam lembar skor. Lembar skor ini berisi berbagai kategori, seperti a rumah penuh atau lurus besar. Setiap kategori puas dengan kombinasi dadu yang berbeda.

Kategori yang paling sulit diisi adalah kategori Yahtzee. Yahtzee terjadi ketika seorang pemain memutar lima dari nomor yang sama. Seberapa kecil kemungkinan Yahtzee? Ini adalah masalah yang jauh lebih rumit daripada menemukan probabilitas untuk dua atau bahkan tiga dadu. Alasan utama adalah bahwa ada banyak cara untuk mendapatkan lima dadu yang cocok selama tiga gulungan.

Kita dapat menghitung kemungkinan menggulirkan Yahtzee dengan menggunakan rumus kombinatorik untuk kombinasi, dan dengan memecah masalah menjadi beberapa saling eksklusif kasus.

Kasus termudah untuk dipertimbangkan adalah mendapatkan Yahtzee segera pada gulungan pertama. Pertama kita akan melihat kemungkinan dari menggulung Yahtzee tertentu dari lima dua, dan kemudian dengan mudah memperluas ini ke probabilitas setiap Yahtzee.

Peluang menggulung dua adalah 1/6, dan hasil dari setiap dadu tidak tergantung dari yang lain. Dengan demikian probabilitas menggulung lima berpasangan adalah (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Peluang untuk menggulirkan lima jenis nomor lainnya juga 1/7776. Karena ada total enam angka berbeda pada cetakan, kami mengalikan probabilitas di atas dengan 6.

Ini berarti bahwa probabilitas Yahtzee pada gulungan pertama adalah 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 persen.

Jika kita menggulung apa pun selain lima jenis gulungan pertama, kita harus memutar ulang beberapa dadu kita untuk mencoba mendapatkan Yahtzee. Misalkan gulungan pertama kita memiliki empat jenis. kami akan memutar ulang dadu yang tidak cocok dan kemudian mendapatkan Yahtzee pada gulungan kedua ini.

Probabilitas untuk menggulirkan total lima two dengan cara ini ditemukan sebagai berikut:

1. Pada roll pertama, kami memiliki empat pasangan. Karena ada kemungkinan 1/6 dari menggulung dua, dan 5/6 tidak menggulung dua, kami mengalikan (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Salah satu dari lima dadu berguling bisa menjadi bukan dua. Kami menggunakan rumus kombinasi kami untuk C (5, 1) = 5 untuk menghitung berapa banyak cara kita dapat menggulung empat pasangan dan sesuatu yang bukan dua.
3. Kami mengalikan dan melihat bahwa kemungkinan menggulirkan tepat dua pasangan pada gulungan pertama adalah 25/7776.
4. Pada gulungan kedua, kita perlu menghitung probabilitas untuk menggulung satu dua. Ini 1/6. Dengan demikian, kemungkinan menggulirkan Yahtzee dua-dua dengan cara di atas adalah (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Untuk menemukan probabilitas memutar setiap Yahtzee dengan cara ini ditemukan dengan mengalikan probabilitas di atas dengan 6 karena ada enam angka berbeda pada cetakan. Ini memberikan probabilitas 6 x 25/46656 = 0,32 persen.

Tapi ini bukan satu-satunya cara untuk menggulung Yahtzee dengan dua gulungan. Semua probabilitas berikut ditemukan dengan cara yang sama seperti di atas:

• Kita bisa melempar tiga jenis, dan kemudian dua dadu yang cocok dengan gulungan kedua kita. Probabilitas ini adalah 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 persen.
• Kita bisa melempar pasangan yang cocok, dan pada gulungan kedua kami tiga dadu yang cocok. Probabilitas ini adalah 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 persen.
• Kita bisa melempar lima dadu yang berbeda, menyelamatkan satu dadu dari gulungan pertama kita, lalu melempar empat dadu yang cocok dengan gulungan kedua. Probabilitasnya adalah (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 persen.

Kasus-kasus di atas saling eksklusif. Ini berarti bahwa untuk menghitung probabilitas menggulirkan Yahtzee dalam dua gulungan, kami menambahkan probabilitas di atas bersama-sama dan kami memiliki sekitar 1,23 persen.

Untuk situasi yang paling rumit, kita sekarang akan memeriksa kasus di mana kita menggunakan ketiganya untuk mendapatkan Yahtzee. Kami bisa melakukan ini dalam beberapa cara dan harus menjelaskan semuanya.

Probabilitas kemungkinan ini dihitung di bawah:

• Probabilitas menggulung empat jenis, maka tidak ada, kemudian mencocokkan dadu terakhir pada gulungan terakhir adalah 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 persen.
• Probabilitas untuk menggulung tiga jenis, maka tidak ada, kemudian mencocokkan dengan pasangan yang benar pada gulungan terakhir adalah 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 persen.
• Probabilitas menggulirkan pasangan yang cocok, maka tidak ada, kemudian mencocokkan dengan tiga jenis yang benar pada gulungan ketiga adalah 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21 persen.
• Peluang menggulung satu dadu, maka tidak ada yang cocok dengan ini, kemudian mencocokkan dengan empat jenis yang benar pada gulungan ketiga adalah (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 persen.
• Peluang menggulung tiga jenis, mencocokkan dadu tambahan pada gulungan berikutnya, diikuti oleh mencocokkan dadu kelima pada gulungan ketiga adalah 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 persen.
• Probabilitas untuk menggulirkan pasangan, mencocokkan pasangan tambahan pada gulungan berikutnya, diikuti oleh pencocokan die kelima pada roll ketiga adalah 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 persen.
• Peluang menggulung pasangan, mencocokkan dadu tambahan pada gulungan berikutnya, diikuti dengan mencocokkan dua dadu terakhir pada gulungan ketiga adalah 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 persen.
• Peluang menggulung satu jenis, yang lain mati untuk mencocokkannya pada gulungan kedua, dan kemudian tiga jenis pada gulungan ketiga adalah (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 persen.
• Peluang untuk menggulung satu jenis, tiga jenis untuk dicocokkan pada gulungan kedua, diikuti oleh pertandingan pada gulungan ketiga adalah (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 persen.
• Peluang untuk menggulung satu jenis, pasangan untuk mencocokkannya pada gulungan kedua, dan kemudian pasangan lain untuk mencocokkan pada gulungan ketiga adalah (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 persen.

Kami menambahkan semua probabilitas di atas bersama-sama untuk menentukan kemungkinan menggulung Yahtzee dalam tiga gulungan dadu. Probabilitas ini adalah 3,43 persen.

Probabilitas Yahtzee dalam satu roll adalah 0,08 persen, probabilitas Yahtzee dalam dua roll adalah 1,23 persen dan probabilitas Yahtzee dalam tiga roll adalah 3,43 persen. Karena masing-masing ini saling eksklusif, kami menambahkan probabilitas bersama. Ini berarti bahwa kemungkinan memperoleh Yahtzee pada gilirannya adalah sekitar 4,74 persen. Untuk menempatkan ini dalam perspektif, karena 1/21 adalah sekitar 4,74 persen, secara kebetulan seorang pemain harus mengharapkan Yahtzee sekali setiap 21 putaran. Dalam praktiknya, mungkin diperlukan waktu lebih lama karena pasangan awal mungkin dibuang untuk melakukan hal lain, seperti a lurus.