Distribusi binomial adalah kelas diskrit yang penting distribusi probabilitas. Jenis distribusi ini adalah serangkaian n uji coba Bernoulli independen, yang masing-masing memiliki probabilitas konstan hal kesuksesan. Seperti halnya distribusi probabilitas kami ingin tahu apa artinya atau pusatnya. Untuk ini kami benar-benar bertanya, “Apa itu nilai yang diharapkan distribusi binomial? "
Intuisi vs. Bukti
Jika kita hati-hati berpikir tentang a distribusi binomial, tidak sulit untuk menentukan yang diharapkan nilai jenis distribusi probabilitas ini adalah np. Untuk beberapa contoh singkat ini, pertimbangkan hal berikut:
- Jika kita melempar 100 koin, dan X adalah jumlah kepala, nilai yang diharapkan dari X adalah 50 = (1/2) 100.
- Jika kami mengikuti tes pilihan ganda dengan 20 pertanyaan dan masing-masing pertanyaan memiliki empat pilihan (hanya satu yang mana benar), maka menebak secara acak berarti kita hanya berharap mendapatkan (1/4) 20 = 5 pertanyaan benar.
Dalam kedua contoh ini kita melihat itu
E [X] = n hal. Dua kasus hampir tidak cukup untuk mencapai kesimpulan. Meskipun intuisi adalah alat yang baik untuk membimbing kita, tidak cukup untuk membentuk argumen matematis dan membuktikan bahwa sesuatu itu benar. Bagaimana kita membuktikan secara definitif bahwa nilai yang diharapkan dari distribusi ini memang np?Dari definisi nilai yang diharapkan dan fungsi massa probabilitas untuk distribusi binomial dari n uji coba probabilitas keberhasilan hal, kita dapat menunjukkan bahwa intuisi kita cocok dengan buah ketelitian matematika. Kita perlu sedikit berhati-hati dalam pekerjaan kita dan gesit dalam manipulasi kita terhadap koefisien binomial yang diberikan oleh rumus untuk kombinasi.
Kami mulai dengan menggunakan rumus:
E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) halx(1-p)n - x.
Karena setiap istilah penjumlahan dikalikan dengan x, nilai istilah yang terkait dengan x = 0 akan menjadi 0, dan kita benar-benar dapat menulis:
E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) hal x (1 - p) n - x .
Dengan memanipulasi faktorial yang terlibat dalam ekspresi untuk C (n, x) kita bisa menulis ulang
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Ini benar karena:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Oleh karena itu:
E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) hal x (1 - p) n - x .
Kami memfaktorkan n dan satu hal dari ungkapan di atas:
E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) hal x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
Perubahan variabel r = x - 1 memberi kita:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
Dengan rumus binomial, (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r penjumlahan di atas dapat ditulis ulang:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.
Argumen di atas telah membawa kita jauh. Dari mulai hanya dengan definisi nilai yang diharapkan dan fungsi massa probabilitas untuk distribusi binomial, kami telah membuktikan apa yang dikatakan oleh intuisi kami. Nilai yang diharapkan dari distribusi binomialB (n, p) adalah n p.