Apa itu Kalkulus? Definisi dan Aplikasi Praktis

Kalkulus adalah cabang matematika yang melibatkan studi tentang tingkat perubahan. Sebelum kalkulus ditemukan, semua matematika statis: Itu hanya bisa membantu menghitung objek yang diam. Tetapi alam semesta terus bergerak dan berubah. Tidak ada benda — dari bintang-bintang di ruang angkasa hingga partikel atau sel-sel subatomik dalam tubuh — yang selalu diam. Memang, hampir semua hal di alam semesta terus bergerak. Kalkulus membantu menentukan bagaimana partikel, bintang, dan materi benar-benar bergerak dan berubah dalam waktu nyata.

Kalkulus digunakan dalam banyak bidang yang biasanya tidak Anda pikir akan memanfaatkan konsep-konsepnya. Diantaranya adalah fisika, teknik, ekonomi, statistik, dan kedokteran. Kalkulus juga digunakan di daerah yang berbeda seperti perjalanan ruang angkasa, serta menentukan bagaimana obat berinteraksi dengan tubuh, dan bahkan bagaimana membangun struktur yang lebih aman. Anda akan mengerti mengapa kalkulus berguna di banyak bidang jika Anda tahu sedikit tentang sejarahnya serta apa yang dirancang untuk dilakukan dan diukur.

Takeaways Utama: Teorema Dasar Kalkulus

Kalkulus dikembangkan pada paruh kedua abad ke-17 oleh dua ahli matematika, Gottfried Leibniz dan Isaac Newton. Newton pertama kali mengembangkan kalkulus dan menerapkannya langsung pada pemahaman sistem fisik. Secara independen, Leibniz mengembangkan notasi yang digunakan dalam kalkulus. Sederhananya, sementara matematika dasar menggunakan operasi seperti plus, minus, waktu, dan pembagian (+, -, x, dan ÷), kalkulus menggunakan operasi yang menggunakan fungsi dan integral untuk menghitung tingkat perubahan.

Alat-alat itu memungkinkan Newton, Leibniz, dan matematikawan lain yang mengikuti untuk menghitung hal-hal seperti kemiringan kurva yang tepat pada titik mana pun. Kisah Matematika menjelaskan pentingnya teorema dasar Newton dari kalkulus:

"Tidak seperti geometri statis dari Yunani, kalkulus memungkinkan ahli matematika dan insinyur untuk memahami gerak dan perubahan dinamis dalam dunia yang berubah di sekitar kita, seperti orbit planet, gerakan cairan, dll. "

Dengan menggunakan kalkulus, ilmuwan, astronom, fisikawan, matematikawan, dan ahli kimia sekarang dapat memetakan orbit planet-planet dan bintang-bintang, serta jalur elektron dan proton pada tingkat atom.

Ada dua cabang kalkulus: kalkulus diferensial dan integral. "Kalkulus diferensial mempelajari studi kalkulus derivatif dan integral... integral," catat Massachusetts Institute of Technology. Tetapi ada lebih dari itu. Kalkulus diferensial menentukan tingkat perubahan kuantitas. Ini meneliti tingkat perubahan lereng dan kurva.

Cabang ini berkaitan dengan studi tentang tingkat perubahan fungsi sehubungan dengan variabel mereka, terutama melalui penggunaan turunan dan diferensial. Derivatif adalah kemiringan garis pada grafik. Anda menemukan kemiringan garis dengan menghitung bangkit dari pelarian.

Kalkulus integral, sebaliknya, berusaha menemukan kuantitas di mana laju perubahan diketahui. Cabang ini berfokus pada konsep-konsep seperti lereng garis singgung dan kecepatan. Sementara kalkulus diferensial berfokus pada kurva itu sendiri, kalkulus integral berkaitan dengan ruang atau area dibawah kurva. Kalkulus integral digunakan untuk menentukan ukuran atau nilai total, seperti panjang, luas, dan volume.

Kalkulus memainkan peran integral dalam pengembangan navigasi pada abad 17 dan 18 karena memungkinkan pelaut untuk menggunakan posisi bulan untuk secara akurat menentukan waktu setempat. Untuk memetakan posisi mereka di laut, navigator harus dapat mengukur waktu dan sudut dengan akurat. Sebelum pengembangan kalkulus, navigator dan kapten kapal tidak bisa melakukan keduanya.

Kalkulus - baik turunan dan integral - membantu meningkatkan pemahaman konsep penting ini dalam hal kurva Bumi, yang kapal jarak jauh harus melakukan perjalanan di sekitar kurva untuk sampai ke lokasi tertentu, dan bahkan penyelarasan Bumi, laut, dan kapal dalam kaitannya dengan bintang.

Kalkulus memiliki banyak aplikasi praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa konsep yang menggunakan kalkulus termasuk gerak, listrik, panas, cahaya, harmonik, akustik, dan astronomi. Kalkulus digunakan dalam geografi, visi komputer (seperti untuk mengendarai mobil otonom), fotografi, kecerdasan buatan, robot, permainan video, dan bahkan film. Kalkulus juga digunakan untuk menghitung tingkat peluruhan radioaktif dalam kimia, dan bahkan untuk memprediksi tingkat kelahiran dan kematian, serta dalam studi gravitasi dan gerakan planet, aliran fluida, desain kapal, kurva geometris, dan rekayasa jembatan.

Dalam fisika, misalnya, kalkulus digunakan untuk membantu mendefinisikan, menjelaskan, dan menghitung gerak, listrik, panas, cahaya, harmonik, akustik, astronomi, dan dinamika. Teori relativitas Einstein bergantung pada kalkulus, bidang matematika yang juga membantu ekonom memprediksi berapa banyak laba yang bisa dihasilkan oleh perusahaan atau industri. Dan masuk pembuatan kapal, kalkulus telah digunakan selama bertahun-tahun untuk menentukan kurva lambung kapal (menggunakan diferensial kalkulus), serta area di bawah lambung (menggunakan kalkulus integral), dan bahkan dalam desain umum kapal.

Selain itu, kalkulus digunakan untuk memeriksa jawaban untuk berbagai disiplin ilmu matematika seperti statistik, geometri analitik, dan aljabar.

Ekonom menggunakan kalkulus untuk memprediksi penawaran, permintaan, dan potensi keuntungan maksimum. Bagaimanapun, penawaran dan permintaan pada dasarnya dipetakan pada kurva — dan kurva yang terus berubah pada saat itu.

Ekonom menggunakan kalkulus untuk menentukan elastisitas harga dari permintaan. Mereka menyebut kurva penawaran dan permintaan yang selalu berubah sebagai "elastis," dan tindakan kurva sebagai "elastisitas." Untuk menghitung ukuran elastisitas yang tepat pada titik tertentu titik pada kurva penawaran atau permintaan, Anda perlu berpikir tentang perubahan harga yang sangat kecil dan, sebagai akibatnya, memasukkan derivatif matematika ke dalam elastisitas Anda formula. Kalkulus memungkinkan Anda untuk menentukan titik tertentu pada kurva penawaran dan permintaan yang terus berubah.

"Ringkasan Kalkulus." Institut Teknologi Massachusetts, 10 Januari 2000, Cambridge, MA.