Permainan Yahtzee melibatkan penggunaan lima dadu standar. Di setiap belokan, pemain diberikan tiga gulungan. Setelah setiap gulungan, sejumlah dadu dapat disimpan dengan tujuan untuk mendapatkan kombinasi tertentu dari dadu ini. Setiap jenis kombinasi yang berbeda bernilai jumlah poin yang berbeda.
Salah satu dari kombinasi ini disebut full house. Seperti rumah penuh dalam permainan poker, kombinasi ini mencakup tiga dari jumlah tertentu bersama dengan sepasang nomor yang berbeda. Karena Yahtzee melibatkan pengguliran dadu secara acak, permainan ini dapat dianalisis dengan menggunakan probabilitas untuk menentukan seberapa besar kemungkinan menggulung rumah penuh dalam satu gulungan.
Asumsi
Kita akan mulai dengan menyatakan asumsi kita. Kami berasumsi bahwa dadu yang digunakan adil dan tidak tergantung satu sama lain. Ini berarti bahwa kami memiliki ruang sampel yang seragam yang terdiri dari semua kemungkinan gulungan dari lima dadu. Meskipun permainan Yahtzee memungkinkan tiga gulungan, kami hanya akan mempertimbangkan kasus bahwa kami mendapatkan rumah penuh dalam satu gulungan.
Ruang sampel
Karena kami bekerja dengan a seragamruang sampel, perhitungan probabilitas kami menjadi perhitungan beberapa masalah penghitungan. Probabilitas rumah penuh adalah jumlah cara untuk menggulung rumah penuh, dibagi dengan jumlah hasil dalam ruang sampel.
Jumlah hasil dalam ruang sampel sangat mudah. Karena ada lima dadu dan masing-masing dadu ini dapat memiliki satu dari enam hasil yang berbeda, jumlah hasil dalam ruang sampel adalah 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65 = 7776.
Jumlah Rumah Penuh
Selanjutnya, kami menghitung jumlah cara untuk menggulung rumah penuh. Ini adalah masalah yang lebih sulit. Untuk memiliki rumah penuh, kita membutuhkan tiga dari satu jenis dadu, diikuti oleh sepasang jenis dadu yang berbeda. Kami akan membagi masalah ini menjadi dua bagian:
- Berapa jumlah berbagai jenis rumah penuh yang bisa digulung?
- Berapa jumlah cara yang dapat digulirkan tipe rumah penuh tertentu?
Begitu kita mengetahui jumlah masing-masing, kita dapat melipatgandakannya untuk memberi kita jumlah total rumah penuh yang bisa digulung.
Kita mulai dengan melihat berbagai jenis rumah penuh yang dapat digulung. Setiap angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 dapat digunakan untuk ketiganya. Ada lima angka yang tersisa untuk pasangan. Dengan demikian ada 6 x 5 = 30 jenis kombinasi full house yang dapat digulung.
Sebagai contoh, kita dapat memiliki 5, 5, 5, 2, 2 sebagai satu jenis rumah penuh. Tipe rumah lengkap lainnya adalah 4, 4, 4, 1, 1. Lain lagi akan 1, 1, 4, 4, 4, yang berbeda dari rumah penuh sebelumnya karena peran merangkak dan yang telah diaktifkan.
Sekarang kita menentukan berbagai cara untuk menggulung rumah penuh tertentu. Sebagai contoh, masing-masing dari berikut ini memberi kita rumah penuh yang sama, terdiri dari tiga merangkak dan dua:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Kita melihat bahwa setidaknya ada lima cara untuk menggulung rumah penuh tertentu. Apakah ada yang lain? Bahkan jika kita terus membuat daftar kemungkinan lain, bagaimana kita tahu bahwa kita telah menemukan semuanya?
Kunci untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini adalah untuk menyadari bahwa kita sedang berhadapan dengan masalah penghitungan dan untuk menentukan jenis masalah penghitungan yang sedang kita tangani. Ada lima posisi, dan tiga di antaranya harus diisi dengan empat. Urutan tempat kami merangkak tidak penting selama posisi yang tepat terisi. Setelah posisi merangkak ditentukan, penempatan yang otomatis. Untuk alasan ini, kita perlu mempertimbangkan kombinasi dari lima posisi diambil tiga sekaligus.
Kami menggunakan rumus kombinasi untuk mendapatkan C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Ini berarti bahwa ada 10 cara berbeda untuk menggulung rumah penuh yang diberikan.
Menyatukan semua ini, kami memiliki sejumlah rumah penuh. Ada 10 x 30 = 300 cara untuk mendapatkan rumah lengkap dalam satu gulungan.
Kemungkinan
Sekarang probabilitas rumah penuh adalah perhitungan divisi sederhana. Karena ada 300 cara untuk menggulung rumah penuh dalam satu gulungan dan ada 7776 gulungan lima dadu yang memungkinkan, kemungkinan menggulung rumah penuh adalah 300/7776, yang mendekati 1/26 dan 3,85%. Ini 50 kali lebih mungkin daripada menggulung Yahtzee dalam satu roll.
Tentu saja, sangat mungkin bahwa gulungan pertama bukan rumah penuh. Jika ini masalahnya, maka kita diperbolehkan dua gulungan lagi membuat rumah penuh lebih mungkin. Probabilitas ini jauh lebih rumit untuk ditentukan karena semua situasi yang mungkin perlu dipertimbangkan.