Apa Hukum De Morgan?

Statistik matematika terkadang membutuhkan penggunaan teori himpunan. Hukum De Morgan adalah dua pernyataan yang menggambarkan interaksi antara berbagai operasi teori himpunan. Hukum adalah untuk dua set SEBUAH dan B:

1. (SEBUAH ∩ B)^C = SEBUAH^C U B^C.
2. (SEBUAH U B)^C = SEBUAH^C ∩ B^C.

Setelah menjelaskan apa arti dari masing-masing pernyataan ini, kita akan melihat contoh masing-masing pernyataan yang digunakan.

Untuk memahami apa yang dikatakan Hukum De Morgan, kita harus mengingat kembali beberapa definisi operasi teori himpunan. Secara khusus, kita harus tahu tentang Persatuan dan persimpangan dua set dan komplemen dari satu set.

Hukum De Morgan berhubungan dengan interaksi persatuan, persimpangan, dan pelengkap. Ingat itu:

• Perpotongan set SEBUAH dan B terdiri dari semua elemen yang sama untuk keduanya SEBUAH dan B. Persimpangan dilambangkan dengan SEBUAH ∩ B.
• Persatuan set SEBUAH dan B terdiri dari semua elemen yang ada di dalam keduanya SEBUAH atau B, termasuk elemen di kedua set. Persimpangan dilambangkan oleh A U B.
instagram viewer
• Komplemen dari himpunan SEBUAH terdiri dari semua elemen yang bukan elemen SEBUAH. Komplemen ini dilambangkan dengan A^C.

Sekarang setelah kita mengingat kembali operasi-operasi dasar ini, kita akan melihat pernyataan Hukum De Morgan. Untuk setiap pasangan set SEBUAH dan B kita punya:

1. (SEBUAH ∩ B)^C = SEBUAH^C U B^C
2. (SEBUAH U B)^C = SEBUAH^C ∩ B^C

Kedua pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan menggunakan diagram Venn. Seperti yang terlihat di bawah, kita dapat menunjukkan dengan menggunakan contoh. Untuk menunjukkan bahwa pernyataan ini benar, kita harus buktikan mereka dengan menggunakan definisi operasi teori himpunan.

Sebagai contoh, pertimbangkan set bilangan real dari 0 hingga 5. Kami menulis ini dalam notasi interval [0, 5]. Dalam set ini yang kita miliki SEBUAH = [1, 3] dan B = [2, 4]. Selanjutnya, setelah menerapkan operasi dasar kami, kami memiliki:

• Pelengkap SEBUAH^C = [0, 1) U (3, 5)
• Pelengkap B^C = [0, 2) U (4, 5)
• Persatuan SEBUAH U B = [1, 4]
• Persimpangan SEBUAH ∩ B = [2, 3]

Kami mulai dengan menghitung serikat pekerja SEBUAH^C U B^C. Kita melihat bahwa penyatuan [0, 1) U (3, 5) dengan [0, 2) U (4, 5] adalah [0, 2) U (3, 5]. Persimpangan SEBUAH ∩ B adalah [2, 3]. Kita melihat bahwa komplemen dari set ini [2, 3] juga [0, 2) U (3, 5). Dengan cara ini kami telah menunjukkan hal itu SEBUAH^C U B^C = (SEBUAH ∩ B)^C.

Sekarang kita melihat persimpangan [0, 1) U (3, 5) dengan [0, 2) U (4, 5) adalah [0, 1) U (4, 5]. Kita juga melihat bahwa komplemen dari [1, 4] juga [0, 1) U (4, 5). Dengan cara ini kami telah menunjukkan hal itu SEBUAH^C ∩ B^C = (SEBUAH U B)^C.

Sepanjang sejarah logika, orang-orang seperti Aristoteles dan William dari Ockham telah membuat pernyataan yang setara dengan Hukum De Morgan.

Hukum De Morgan dinamai setelah Augustus De Morgan, yang hidup dari tahun 1806–1871. Meskipun ia tidak menemukan hukum-hukum ini, ia adalah orang pertama yang memperkenalkan pernyataan-pernyataan ini secara formal menggunakan formulasi matematika dalam logika proposisional.