Varian dari distribusi variabel acak adalah fitur penting. Angka ini menunjukkan penyebaran distribusi, dan ditemukan dengan mengkuadratkan standar deviasi. Satu diskrit yang biasa digunakan distribusi adalah distribusi Poisson. Kita akan melihat bagaimana cara menghitung varian dari distribusi Poisson dengan parameter λ.
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson digunakan ketika kita memiliki semacam rangkaian dan menghitung perubahan diskrit dalam rangkaian ini. Ini terjadi ketika kami mempertimbangkan jumlah orang yang tiba di konter tiket film dalam waktu satu jam, tetap ikuti perkembangannya jumlah mobil yang bepergian melalui persimpangan dengan pemberhentian empat arah atau hitung jumlah cacat yang terjadi dalam panjang kawat.
Jika kami membuat beberapa asumsi klarifikasi dalam skenario ini, maka situasi ini cocok dengan kondisi untuk proses Poisson. Kami kemudian mengatakan bahwa variabel acak, yang menghitung jumlah perubahan, memiliki distribusi Poisson.
Distribusi Poisson sebenarnya mengacu pada keluarga distribusi yang tak terbatas. Distribusi ini dilengkapi dengan parameter tunggal λ. Parameternya positif
bilangan real yang terkait erat dengan jumlah perubahan yang diharapkan diamati dalam kontinum. Selanjutnya, kita akan melihat bahwa parameter ini sama dengan tidak hanya parameter berarti dari distribusi tetapi juga varian dari distribusi.Fungsi massa probabilitas untuk distribusi Poisson diberikan oleh:
f(x) = (λxe-λ)/x!
Dalam ungkapan ini, surat itu e adalah angka dan adalah konstanta matematika dengan nilai kira-kira sama dengan 2.718281828. Variabel x dapat berupa bilangan bulat tidak negatif.
Menghitung Varians
Untuk menghitung rata-rata distribusi Poisson, kami menggunakan distribusi ini fungsi menghasilkan momen. Kami melihat bahwa:
M.( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!
Kami sekarang memanggil kembali seri Maclaurin untuk ekamu. Karena ada turunan dari fungsi ekamu adalah ekamu, semua turunan ini dievaluasi dengan nol memberi kami 1. Hasilnya adalah seri ekamu = Σ kamun/n!.
Dengan menggunakan seri Maclaurin untuk ekamu, kita dapat mengekspresikan fungsi saat menghasilkan bukan sebagai seri, tetapi dalam bentuk tertutup. Kami menggabungkan semua istilah dengan eksponen x. Jadi M.(t) = eλ(et - 1).
Kami sekarang menemukan varians dengan mengambil turunan kedua dari M. dan mengevaluasi ini nol. Sejak M.’(t) =λetM.(t), kami menggunakan aturan produk untuk menghitung turunan kedua:
M.’’(t)=λ2e2tM.’(t) + λetM.(t)
Kami mengevaluasi ini nol dan menemukan itu M.’’(0) = λ2 + λ. Kami kemudian menggunakan fakta itu M.’(0) = λ untuk menghitung varians.
Var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.
Ini menunjukkan bahwa parameter λ tidak hanya rata-rata dari distribusi Poisson tetapi juga variansnya.