Apa Set Kosong dalam Teori Set?

Kapan tidak ada yang bisa menjadi sesuatu? Sepertinya pertanyaan konyol, dan cukup paradoks. Dalam bidang matematika teori himpunan, adalah hal biasa untuk tidak ada yang menjadi sesuatu selain tidak ada. Bagaimana ini bisa terjadi?

Ketika kita membentuk set tanpa elemen, kita tidak lagi memiliki apa-apa. Kami memiliki satu set tanpa apa pun di dalamnya. Ada nama khusus untuk set yang tidak mengandung elemen. Ini disebut set kosong atau nol.

Definisi himpunan kosong cukup halus dan membutuhkan sedikit pemikiran. Penting untuk diingat bahwa kita memikirkan a set sebagai kumpulan elemen. Himpunan itu sendiri berbeda dari elemen yang dikandungnya.

Sebagai contoh, kita akan melihat {5}, yang merupakan himpunan yang mengandung elemen 5. Set {5} bukan angka. Ini adalah himpunan dengan angka 5 sebagai elemen, sedangkan 5 adalah angka.

Dengan cara yang sama, set kosong bukanlah apa-apa. Sebaliknya, itu adalah himpunan tanpa elemen. Ini membantu untuk menganggap set sebagai wadah, dan elemen adalah hal-hal yang kita masukkan ke dalamnya. Wadah kosong masih merupakan wadah dan analog dengan set kosong.

Set kosong itu unik, itulah mengapa sangat tepat untuk dibicarakan itu set kosong, bukan sebuah set kosong. Ini membuat set kosong berbeda dari set lainnya. Ada banyak set tanpa batas dengan satu elemen di dalamnya. Set {a}, {1}, {b} dan {123} masing-masing memiliki satu elemen, sehingga keduanya setara satu sama lain. Karena elemen-elemen itu sendiri berbeda satu sama lain, set tidak sama.

Tidak ada yang istimewa dari contoh di atas yang masing-masing memiliki satu elemen. Dengan satu pengecualian, untuk setiap angka penghitungan atau tak terhingga, ada banyak set ukuran yang tak terhingga. Pengecualian untuk angka nol. Hanya ada satu set, set kosong, tanpa elemen di dalamnya.

Bukti matematis dari fakta ini tidaklah sulit. Pertama-tama kita mengasumsikan bahwa himpunan kosong tidak unik, bahwa ada dua himpunan tanpa elemen di dalamnya, dan kemudian menggunakan beberapa properti dari himpunan teori untuk menunjukkan bahwa asumsi ini menyiratkan kontradiksi.

Set kosong dilambangkan dengan simbol ∅, yang berasal dari simbol serupa dalam alfabet Denmark. Beberapa buku merujuk pada set kosong dengan nama alternatifnya set nol.

Karena hanya ada satu set kosong, ada baiknya untuk melihat apa yang terjadi ketika set operasi persimpangan, gabungan, dan komplemen digunakan dengan set kosong dan set umum yang akan kami tunjukkan oleh X. Menarik juga untuk mempertimbangkan subset dari set kosong dan kapan set subset kosong. Fakta-fakta ini dikumpulkan di bawah:

• Itu persimpangan dari setiap set dengan set kosong adalah set kosong. Ini karena tidak ada elemen dalam himpunan kosong, sehingga kedua himpunan tidak memiliki elemen yang sama. Dalam simbol, kita menulis X ∩ ∅ = ∅.
• Itu Persatuan dari setiap set dengan set kosong adalah set kita mulai dengan. Ini karena tidak ada elemen di set kosong, dan jadi kami tidak menambahkan elemen ke set lain ketika kami membentuk serikat. Dalam simbol, kita menulis X U ∅ = X.
• Itu melengkapi himpunan kosong adalah himpunan universal untuk pengaturan tempat kami bekerja. Ini karena himpunan semua elemen yang tidak ada di himpunan kosong hanyalah himpunan semua elemen.
• Set kosong adalah subset dari set apa pun. Ini karena kami membentuk himpunan bagian dari himpunan X dengan memilih (atau tidak memilih) elemen dari X. Salah satu opsi untuk subset adalah tidak menggunakan elemen sama sekali dari X. Ini memberi kita set kosong.