Probabilitas dan Dadu Pembohong

Banyak permainan kebetulan dapat dianalisis menggunakan matematika probabilitas. Dalam artikel ini, kami akan memeriksa berbagai aspek permainan yang disebut Liar's Dice. Setelah menggambarkan game ini, kami akan menghitung probabilitas yang terkait dengannya.

Permainan Liar's Dice sebenarnya adalah keluarga permainan yang melibatkan gertak sambal dan penipuan. Ada beberapa varian dari gim ini, dan ada beberapa nama berbeda seperti Pirate's Dice, Deception, dan Dudo. Versi game ini ditampilkan dalam film Pirates of the Caribbean: Dead Man's Chest.

Dalam versi gim yang akan kita periksa, setiap pemain memiliki satu piala dan satu set jumlah dadu yang sama. Dadu adalah dadu bersisi enam standar yang diberi nomor dari satu hingga enam. Semua orang melempar dadu mereka, menjaga mereka tertutup oleh cangkir. Pada waktu yang tepat, seorang pemain melihat set dadu, menyembunyikannya dari orang lain. Permainan ini dirancang sedemikian rupa sehingga setiap pemain memiliki pengetahuan sempurna tentang set dadu sendiri, tetapi tidak memiliki pengetahuan tentang dadu lain yang telah digulirkan.

Setelah semua orang memiliki kesempatan untuk melihat dadu mereka yang digulirkan, penawaran dimulai. Pada setiap belokan, pemain memiliki dua pilihan: buat tawaran lebih tinggi atau panggil tawaran sebelumnya bohong. Tawaran dapat dibuat lebih tinggi dengan menawar nilai dadu yang lebih tinggi dari satu hingga enam, atau dengan menawar jumlah yang lebih besar dari nilai dadu yang sama.

Misalnya, tawaran "Tiga berpasangan" dapat ditingkatkan dengan menyatakan "Empat berpasangan." Bisa juga ditingkatkan dengan mengatakan "Tiga bertiga." Secara umum, baik jumlah dadu maupun nilai dadu tidak dapat berkurang.

Karena sebagian besar dadu tersembunyi dari pandangan, penting untuk mengetahui cara menghitung beberapa probabilitas. Dengan mengetahui hal ini, akan lebih mudah untuk melihat tawaran apa yang mungkin benar, dan tawaran apa yang cenderung bohong.

Pertimbangan pertama adalah bertanya, "Berapa banyak dadu dengan jenis yang sama yang akan kita harapkan?" Misalnya, jika kita melempar lima dadu, berapa banyak dari ini yang kita harapkan menjadi dua? Jawaban atas pertanyaan ini menggunakan gagasan nilai yang diharapkan.

Nilai yang diharapkan dari variabel acak adalah probabilitas dari nilai tertentu, dikalikan dengan nilai ini.

Probabilitas bahwa dadu pertama adalah dua adalah 1/6. Karena dadu tidak saling bergantung satu sama lain, maka kemungkinan salah satu dari keduanya adalah 1/6. Ini berarti bahwa jumlah yang diharapkan dari dua gulungan adalah 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Tentu saja, tidak ada yang istimewa dari hasil keduanya. Juga tidak ada yang istimewa tentang jumlah dadu yang kami pertimbangkan. Jika kita berguling n dadu, maka jumlah yang diharapkan dari salah satu dari enam hasil yang mungkin adalah n/6. Angka ini baik untuk diketahui karena memberi kami dasar untuk digunakan ketika mempertanyakan tawaran yang dibuat oleh orang lain.

Misalnya, jika kita bermain dadu pembohong dengan enam dadu, nilai yang diharapkan dari salah satu nilai 1 hingga 6 adalah 6/6 = 1. Ini berarti bahwa kita harus skeptis jika seseorang menawar lebih dari satu nilai apa pun. Dalam jangka panjang, kami akan rata-rata satu dari masing-masing nilai yang mungkin.

Misalkan kita melempar lima dadu dan kita ingin menemukan kemungkinan menggulirkan dua bertiga. Probabilitas bahwa mati adalah tiga adalah 1/6. Probabilitas bahwa mati bukan tiga adalah 5/6. Gulungan dadu ini adalah peristiwa independen, jadi kami mengalikan probabilitas menggunakan aturan perkalian.

Probabilitas bahwa dua dadu pertama adalah bertiga dan dadu lainnya bukan bertiga diberikan oleh produk berikut:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Dua dadu pertama bertiga hanyalah satu kemungkinan. Dadu yang bertiga bisa berupa dua dari lima dadu yang kita gulung. Kami menunjukkan mati yang bukan tiga oleh *. Berikut ini adalah beberapa cara yang mungkin untuk membuat dua dari lima gulungan:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Kita melihat bahwa ada sepuluh cara untuk melempar tepat dua dari lima dadu.

Kita sekarang gandakan probabilitas kita di atas dengan 10 cara kita dapat memiliki konfigurasi dadu ini. Hasilnya adalah 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Ini sekitar 16%.

Kami sekarang menggeneralisasi contoh di atas. Kami mempertimbangkan kemungkinan bergulir n dadu dan mendapatkan tepat k yang bernilai tertentu.

Seperti sebelumnya, probabilitas untuk menggulirkan angka yang kita inginkan adalah 1/6. Probabilitas tidak menggulirkan angka ini diberikan oleh aturan pelengkap sebagai 5/6. Kami ingin k dadu kami menjadi nomor yang dipilih. Ini artinya n - k adalah nomor selain yang kita inginkan. Probabilitas yang pertama k dadu menjadi nomor tertentu dengan dadu lainnya, bukan angka ini adalah:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Akan membosankan, belum lagi memakan waktu, untuk membuat daftar semua cara yang mungkin untuk melempar konfigurasi dadu tertentu. Itulah mengapa lebih baik menggunakan prinsip penghitungan kami. Melalui strategi ini, kita melihat bahwa kita menghitung kombinasi.

Ada C (n, k) cara menggulung k dari jenis dadu tertentu n dadu. Nomor ini diberikan oleh rumus n!/(k!(n - k)!)

Menyatukan semuanya, kita melihat itu ketika kita menggulung n dadu, probabilitas yang tepat k dari mereka adalah nomor tertentu yang diberikan oleh rumus:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Ada cara lain untuk mempertimbangkan jenis masalah ini. Ini melibatkan distribusi binomial dengan probabilitas keberhasilan yang diberikan oleh hal = 1/6. Formula tepatnya k dari dadu ini menjadi angka tertentu dikenal sebagai fungsi massa probabilitas untuk binomial distribusi.

Situasi lain yang harus kita pertimbangkan adalah probabilitas untuk menggulirkan setidaknya sejumlah nilai tertentu. Sebagai contoh, ketika kita melempar lima dadu berapa probabilitas untuk menggulirkan setidaknya tiga dadu? Kita bisa menggulung tiga, empat, atau lima. Untuk menentukan probabilitas yang ingin kita temukan, kita tambahkan bersama tiga probabilitas.

Di bawah ini kami memiliki daftar probabilitas untuk mendapatkan dengan tepat k dari nilai tertentu ketika kita melempar lima dadu.

Selanjutnya, kami mempertimbangkan tabel berikut. Ini memberikan kemungkinan untuk menggulirkan setidaknya sejumlah nilai ketika kita melempar total lima dadu. Kita melihat bahwa meskipun sangat mungkin untuk menggulung setidaknya satu 2, itu tidak mungkin untuk menggulung setidaknya empat 2.