Menghitung bisa tampak seperti tugas yang mudah untuk dilakukan. Saat kami masuk lebih dalam ke dalam area matematika dikenal sebagai kombinatorik, kami menyadari bahwa kami menemukan sejumlah besar. Sejak faktorial muncul begitu sering, dan angka seperti 10! lebih besar dari tiga juta, menghitung masalah bisa menjadi sangat rumit dengan cepat jika kami mencoba untuk membuat daftar semua kemungkinan.
Terkadang ketika kita mempertimbangkan semua kemungkinan yang dapat terjadi pada masalah penghitungan kita, lebih mudah untuk memikirkan prinsip-prinsip yang mendasari masalah tersebut. Strategi ini bisa memakan waktu jauh lebih sedikit daripada mencoba kekerasan untuk membuat daftar kombinasi atau permutasi.
Pertanyaan "Berapa banyak cara yang bisa dilakukan sesuatu?" adalah pertanyaan yang sepenuhnya berbeda dari "Apa saja caranya bahwa sesuatu dapat dilakukan? "Kita akan melihat gagasan ini bekerja dalam serangkaian penghitungan yang menantang berikut masalah.
Set pertanyaan berikut melibatkan kata SEGITIGA. Perhatikan bahwa ada total delapan huruf. Biarkan dipahami bahwa
vokal dari kata TRIANGLE adalah AEI, dan konsonan dari kata TRIANGLE adalah LGNRT. Untuk tantangan nyata, sebelum membaca lebih lanjut, periksa versi masalah ini tanpa solusi.Masalah
- Berapa banyak cara huruf-huruf kata TRIANGLE dapat diatur?
Larutan: Di sini ada total delapan pilihan untuk huruf pertama, tujuh untuk yang kedua, enam untuk yang ketiga, dan seterusnya. Dengan prinsip perkalian, kami mengalikan dengan total 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40.320 cara berbeda. - Berapa banyak cara huruf-huruf kata TRIANGLE dapat diatur jika tiga huruf pertama harus RAN (dalam urutan yang tepat)?
Larutan: Tiga huruf pertama telah dipilih untuk kita, meninggalkan kita lima huruf. Setelah RAN kami memiliki lima pilihan untuk surat berikutnya diikuti oleh empat, lalu tiga, lalu dua lalu satu. Dengan prinsip perkalian, ada 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 cara untuk mengatur surat-surat dengan cara yang ditentukan. - Berapa banyak cara huruf-huruf kata TRIANGLE dapat diatur jika tiga huruf pertama harus RAN (dalam urutan apa pun)?
Larutan: Lihatlah ini sebagai dua tugas independen: yang pertama mengatur huruf RAN, dan yang kedua mengatur lima huruf lainnya. Ada 3! = 6 cara untuk mengatur RAN dan 5! Cara mengatur lima surat lainnya. Jadi ada total 3! x 5! = 720 cara untuk mengatur huruf-huruf SEGITIGA seperti yang ditentukan. - Berapa banyak cara huruf-huruf kata TRIANGLE dapat diatur jika tiga huruf pertama harus RAN (dalam urutan apa pun) dan huruf terakhir harus vokal?
Larutan: Lihatlah ini sebagai tiga tugas: yang pertama mengatur huruf RAN, yang kedua memilih satu vokal dari I dan E, dan yang ketiga mengatur empat huruf lainnya. Ada 3! = 6 cara untuk mengatur RAN, 2 cara untuk memilih vokal dari huruf yang tersisa dan 4! Cara mengatur empat surat lainnya. Jadi ada total 3! X 2 x 4! = 288 cara untuk mengatur surat-surat SEGITIGA seperti yang ditentukan. - Berapa banyak cara huruf-huruf kata TRIANGLE dapat diatur jika tiga huruf pertama harus RAN (dalam urutan apa pun) dan tiga huruf berikutnya harus TRI (dalam urutan apa pun)?
Larutan: Sekali lagi kami memiliki tiga tugas: yang pertama mengatur huruf RAN, yang kedua mengatur huruf TRI, dan yang ketiga mengatur dua huruf lainnya. Ada 3! = 6 cara untuk mengatur RAN, 3! cara untuk mengatur TRI dan dua cara untuk mengatur surat-surat lainnya. Jadi ada total 3! x 3! X 2 = 72 cara untuk mengatur huruf-huruf SEGITIGA seperti yang ditunjukkan. - Berapa banyak cara berbeda yang dapat diatur huruf-huruf kata TRIANGLE jika urutan dan penempatan huruf hidup IAE tidak dapat diubah?
Larutan: Tiga vokal harus disimpan dalam urutan yang sama. Sekarang ada total lima konsonan untuk diatur. Ini bisa dilakukan dalam 5! = 120 cara. - Berapa banyak cara yang berbeda yang dapat diatur oleh huruf-huruf kata TRIANGLE jika urutan vokal IAE tidak bisa diubah, meskipun penempatannya mungkin (IAETRNGL dan TRIANGEL dapat diterima tetapi EIATRNGL dan TRIENGLA adalah tidak)?
Larutan: Ini paling baik dipikirkan dalam dua langkah. Langkah pertama adalah memilih tempat vokal pergi. Di sini kita memilih tiga tempat dari delapan, dan urutan yang kita lakukan ini tidak penting. Ini adalah kombinasi dan ada total C(8,3) = 56 cara untuk melakukan langkah ini. Lima huruf sisanya dapat diatur dalam 5! = 120 cara. Ini memberikan total 56 x 120 = 6720 pengaturan. - Berapa banyak cara yang berbeda yang dapat diatur oleh huruf-huruf kata TRIANGLE jika urutan vokal IAE dapat diubah, meskipun penempatannya mungkin tidak?
Larutan: Ini benar-benar sama dengan # 4 di atas, tetapi dengan huruf yang berbeda. Kami mengatur tiga huruf dalam 3! = 6 cara dan lima huruf lainnya dalam 5! = 120 cara. Jumlah cara untuk pengaturan ini adalah 6 x 120 = 720. - Berapa banyak cara yang berbeda yang dapat mengatur enam huruf kata TRIANGLE?
Larutan: Karena kita berbicara tentang pengaturan, ini adalah permutasi dan ada total P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 cara. - Berapa banyak cara yang berbeda yang dapat mengatur enam huruf kata TRIANGLE jika harus ada jumlah vokal dan konsonan yang sama?
Larutan: Hanya ada satu cara untuk memilih vokal yang akan kita tempatkan. Memilih konsonan dapat dilakukan di C(5, 3) = 10 cara. Maka ada 6! cara untuk mengatur enam huruf. Lipat gandakan angka-angka ini untuk hasil 7200. - Berapa banyak cara yang berbeda yang dapat mengatur enam huruf kata TRIANGLE jika harus ada setidaknya satu konsonan?
Larutan: Setiap pengaturan enam huruf memenuhi persyaratan, demikian juga ada P(8, 6) = 20.160 cara. - Berapa banyak cara yang berbeda yang dapat mengatur enam huruf kata TRIANGLE jika vokal harus diganti dengan konsonan?
Larutan: Ada dua kemungkinan, huruf pertama adalah vokal atau huruf pertama adalah konsonan. Jika huruf pertama adalah vokal, kami memiliki tiga pilihan, diikuti lima untuk konsonan, dua untuk vokal kedua, empat untuk konsonan kedua, satu untuk vokal terakhir dan tiga untuk konsonan terakhir. Kami gandakan ini untuk mendapatkan 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Dengan argumen simetri, ada jumlah pengaturan yang sama yang dimulai dengan konsonan. Ini memberikan total 720 pengaturan. - Berapa banyak set empat huruf yang dapat dibentuk dari kata SEGITIGA?
Larutan: Karena kita berbicara tentang a set dari empat huruf dari total delapan, urutannya tidak penting. Kita perlu menghitung kombinasi C(8, 4) = 70. - Berapa banyak set empat huruf yang dapat dibentuk dari kata TRIANGLE yang memiliki dua vokal dan dua konsonan?
Larutan: Di sini kita membentuk set kita dalam dua langkah. Ada C(3, 2) = 3 cara untuk memilih dua vokal dari total 3. Ada C(5, 2) = 10 cara untuk memilih konsonan dari lima yang tersedia. Ini memberi total 3x10 = 30 set yang mungkin. - Berapa banyak set empat huruf yang dapat dibentuk dari kata SEGITIGA jika kita ingin setidaknya satu vokal?
Larutan: Ini dapat dihitung sebagai berikut:
- Jumlah set empat dengan satu vokal adalah C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
- Jumlah set empat dengan dua vokal adalah C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
- Jumlah set empat dengan tiga vokal adalah C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.
Ini memberi total 65 set berbeda. Bergantian kita bisa menghitung bahwa ada 70 cara untuk membentuk satu set empat huruf, dan kurangi C(5, 4) = 5 cara untuk mendapatkan satu set tanpa vokal.