Apa Distribusi Binomial Negatif?

Distribusi binomial negatif adalah a distribusi kemungkinan yang digunakan dengan variabel acak diskrit. Jenis distribusi ini menyangkut jumlah uji coba yang harus dilakukan untuk mencapai jumlah keberhasilan yang telah ditentukan. Seperti yang akan kita lihat, distribusi binomial negatif terkait dengan distribusi binomial. Selain itu, distribusi ini menggeneralisasi distribusi geometrik.

Pengaturan

Kami akan mulai dengan melihat pengaturan dan kondisi yang menimbulkan distribusi binomial negatif. Banyak dari kondisi ini sangat mirip dengan pengaturan binomial.

  1. Kami memiliki eksperimen Bernoulli. Ini berarti bahwa setiap percobaan yang kami lakukan memiliki keberhasilan dan kegagalan yang jelas dan bahwa ini adalah satu-satunya hasil.
  2. Probabilitas keberhasilan adalah konstan, tidak peduli berapa kali kami melakukan percobaan. Kami menyatakan probabilitas konstan ini dengan a hal.
  3. Percobaan diulangi untuk X uji coba independen, yang berarti bahwa hasil satu uji coba tidak berpengaruh pada hasil uji coba berikutnya.
instagram viewer

Ketiga kondisi ini identik dengan yang ada dalam distribusi binomial. Perbedaannya adalah bahwa variabel acak binomial memiliki jumlah percobaan tetap n. Satu-satunya nilai X adalah 0, 1, 2,..., n, jadi ini adalah distribusi yang terbatas.

Distribusi binomial negatif berkaitan dengan jumlah percobaan X itu harus terjadi sampai kita miliki r keberhasilan. Nomor r adalah angka keseluruhan yang kita pilih sebelum kita mulai melakukan uji coba kita. Variabel acak X masih diskrit. Namun, sekarang variabel acak dapat mengambil nilai X = r, r + 1, r + 2,... Variabel acak ini sangat tak terhingga, karena bisa memakan waktu lama sebelum kita memperolehnya r keberhasilan.

Contoh

Untuk membantu memahami distribusi binomial negatif, ada baiknya mempertimbangkan contoh. Misalkan kita melempar koin yang adil dan kita bertanya, "Berapa probabilitas kita mendapatkan tiga kepala pertama X koin membalik? "Ini adalah situasi yang membutuhkan distribusi binomial negatif.

Membalik koin memiliki dua hasil yang mungkin, probabilitas keberhasilan adalah 1/2 konstan, dan cobaan mereka independen satu sama lain. Kami meminta kemungkinan mendapatkan tiga kepala pertama setelahnya X membalik koin. Jadi kita harus membalik koin setidaknya tiga kali. Kami kemudian terus membalik sampai kepala ketiga muncul.

Untuk menghitung probabilitas terkait dengan distribusi binomial negatif, kami memerlukan beberapa informasi lebih lanjut. Kita perlu mengetahui probabilitas fungsi massa.

Fungsi Massa Kemungkinan

Fungsi massa probabilitas untuk distribusi binomial negatif dapat dikembangkan dengan sedikit pemikiran. Setiap percobaan memiliki probabilitas keberhasilan yang diberikan oleh hal. Karena hanya ada dua hasil yang mungkin, ini berarti bahwa probabilitas kegagalan adalah konstan (1 - hal ).

Itu rKeberhasilan harus terjadi untuk xth dan uji coba terakhir. Sebelumnya x - 1 uji coba harus berisi persis r - 1 keberhasilan. Jumlah cara ini dapat terjadi diberikan oleh jumlah kombinasi:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Selain itu, kami memiliki acara independen, sehingga kami dapat melipatgandakan probabilitas kami bersama-sama. Menyatukan semua ini, kita memperoleh fungsi massa probabilitas

f(x) = C (x - 1, r -1) halr(1 - hal)x - r.

Nama Distribusi

Kita sekarang berada dalam posisi untuk memahami mengapa variabel acak ini memiliki distribusi binomial negatif. Jumlah kombinasi yang kami temui di atas dapat ditulis secara berbeda dengan pengaturan x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k +1) / k !.

Di sini kita melihat penampakan koefisien binomial negatif, yang digunakan ketika kita menaikkan ekspresi binomial (a + b) menjadi kekuatan negatif.

Berarti

Mean dari distribusi penting untuk diketahui karena itu adalah salah satu cara untuk menunjukkan pusat distribusi. Mean dari jenis variabel acak ini diberikan oleh nilai yang diharapkan dan sama dengan r / hal. Kita dapat membuktikan ini dengan seksama dengan menggunakan fungsi menghasilkan momen untuk distribusi ini.

Intuisi juga menuntun kita pada ungkapan ini. Misalkan kita melakukan serangkaian percobaan n1 sampai kita dapatkan r keberhasilan. Dan kemudian kita melakukan ini lagi, hanya kali ini diperlukan n2 uji coba. Kami melanjutkan ini berulang-ulang, hingga kami memiliki sejumlah besar kelompok pencobaan N = n1 + n2 +... +nk.

Masing-masing k uji coba berisi r sukses, dan kami memiliki total kr keberhasilan. Jika N besar, maka kita akan berharap untuk melihat Np keberhasilan. Jadi kita menyamakan ini bersama dan miliki kr = Np.

Kami melakukan beberapa aljabar dan menemukan itu N / k = r / p. Fraksi di sisi kiri persamaan ini adalah jumlah rata-rata percobaan yang diperlukan untuk masing-masing persamaan k kelompok uji coba. Dengan kata lain, ini adalah berapa kali yang diharapkan untuk melakukan percobaan sehingga kami memiliki total r keberhasilan. Inilah harapan yang ingin kita temukan. Kami melihat bahwa ini sama dengan rumus r / p.

Perbedaan

Varian dari distribusi binomial negatif juga dapat dihitung dengan menggunakan fungsi pembangkit momen. Ketika kita melakukan ini, kita melihat varian distribusi ini diberikan oleh rumus berikut:

r (1 - hal)/hal2

Fungsi Menghasilkan Saat

Fungsi pembangkit momen untuk jenis variabel acak ini cukup rumit. Ingatlah bahwa fungsi pembangkit momen didefinisikan sebagai nilai yang diharapkan E [etX]. Dengan menggunakan definisi ini dengan fungsi massa probabilitas kami, kami memiliki:

M (t) = E [etX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] etXhalr(1 - hal)x - r

Setelah beberapa aljabar ini menjadi M (t) = (pet)r[1- (1- p) et]-r

Hubungan dengan Distribusi Lainnya

Kita telah melihat di atas bagaimana distribusi binomial negatif dalam banyak hal mirip dengan distribusi binomial. Selain koneksi ini, distribusi binomial negatif adalah versi yang lebih umum dari distribusi geometrik.

Variabel acak geometris X menghitung jumlah uji coba yang diperlukan sebelum kesuksesan pertama terjadi. Sangat mudah untuk melihat bahwa ini persis distribusi binomial negatif, tetapi dengan r sama dengan satu.

Formulasi lain dari distribusi binomial negatif ada. Beberapa buku teks mendefinisikan X menjadi jumlah percobaan sampai r kegagalan terjadi.

Contoh Masalah

Kami akan melihat contoh masalah untuk melihat bagaimana bekerja dengan distribusi binomial negatif. Misalkan seorang pemain bola basket adalah penembak lemparan bebas 80%. Lebih jauh, asumsikan bahwa membuat satu lemparan bebas tidak tergantung pada membuat lemparan berikutnya. Berapa probabilitas bahwa untuk pemain ini, keranjang kedelapan dibuat pada lemparan bebas kesepuluh?

Kami melihat bahwa kami memiliki pengaturan untuk distribusi binomial negatif. Probabilitas keberhasilan yang konstan adalah 0,8, sehingga probabilitas kegagalan adalah 0,2. Kami ingin menentukan probabilitas X = 10 ketika r = 8.

Kami pasang nilai-nilai ini ke fungsi massa probabilitas kami:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0.8)8(0.2)2= 36(0.8)8(0.2)2, yaitu sekitar 24%.

Kami kemudian bisa bertanya berapa jumlah rata-rata tembakan lemparan bebas sebelum pemain ini menghasilkan delapan. Karena nilai yang diharapkan adalah 8 / 0,8 = 10, ini adalah jumlah tembakan.