Probabilitas Memilih Nomor Perdana Secara Acak

Teori bilangan adalah cabang dari matematika yang menyangkut dirinya dengan himpunan bilangan bulat. Kami agak membatasi diri dengan melakukan ini karena kami tidak secara langsung mempelajari angka-angka lain, seperti irasional. Namun, jenis lain dari bilangan real digunakan. Selain itu, subjek probabilitas memiliki banyak koneksi dan persimpangan dengan teori bilangan. Salah satu koneksi ini ada hubungannya dengan distribusi bilangan prima. Lebih khusus kita mungkin bertanya, berapa probabilitas bilangan bulat yang dipilih secara acak dari 1 hingga x adalah bilangan prima?

Seperti halnya masalah matematika, penting untuk memahami tidak hanya asumsi apa yang sedang dibuat, tetapi juga definisi dari semua istilah kunci dalam masalah. Untuk masalah ini, kami mempertimbangkan bilangan bulat positif, artinya bilangan bulat 1, 2, 3,. .. hingga beberapa nomor x. Kami secara acak memilih salah satu dari angka-angka ini, artinya semuanya x dari mereka sama-sama cenderung dipilih.

Kami mencoba menentukan probabilitas bahwa bilangan prima dipilih. Jadi kita perlu memahami definisi bilangan prima. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang memiliki dua faktor. Ini berarti bahwa satu-satunya pembagi bilangan prima adalah satu dan bilangan itu sendiri. Jadi 2,3 dan 5 adalah bilangan prima, tetapi 4, 8 dan 12 bukan bilangan prima. Kami mencatat bahwa karena harus ada dua faktor dalam bilangan prima, angka 1 adalah tidak utama.

Solusi untuk masalah ini sangat mudah untuk angka yang rendah x. Yang perlu kita lakukan hanyalah menghitung jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan x. Kami membagi jumlah bilangan prima kurang dari atau sama dengan x dengan nomor tersebut x.

Misalnya, untuk menemukan probabilitas bahwa suatu prime dipilih dari 1 hingga 10 mengharuskan kita untuk membagi jumlah bilangan prima dari 1 menjadi 10 dengan 10. Angka 2, 3, 5, 7 adalah prima, sehingga probabilitas bahwa prima dipilih adalah 4/10 = 40%.

Probabilitas bahwa prime dipilih dari 1 hingga 50 dapat ditemukan dengan cara yang sama. Bilangan prima yang kurang dari 50 adalah: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 dan 47. Ada 15 bilangan prima kurang dari atau sama dengan 50. Dengan demikian probabilitas bahwa prime dipilih secara acak adalah 15/50 = 30%.

Proses ini dapat dilakukan dengan hanya menghitung bilangan prima selama kita memiliki daftar bilangan prima. Misalnya, ada 25 bilangan prima kurang dari atau sama dengan 100. (Dengan demikian probabilitas bahwa angka yang dipilih secara acak dari 1 hingga 100 adalah prima adalah 25/100 = 25%.) Namun, jika kita tidak memiliki daftar dari bilangan prima, bisa jadi secara komputasi menakutkan untuk menentukan himpunan bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan yang diberikan jumlah x.

Jika Anda tidak memiliki hitungan jumlah bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan x, lalu ada cara alternatif untuk mengatasi masalah ini. Solusinya melibatkan hasil matematika yang dikenal sebagai teorema bilangan prima. Ini adalah pernyataan tentang distribusi keseluruhan bilangan prima dan dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas yang coba kita tentukan.

Teorema bilangan prima menyatakan bahwa ada kira-kira x / ln (x) bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan x. Di sini di (x) menunjukkan logaritma natural dari x, atau dengan kata lain logaritma dengan basis nomor e. Sebagai nilai x meningkatkan perkiraan meningkat, dalam arti bahwa kita melihat penurunan kesalahan relatif antara jumlah bilangan prima kurang dari x dan ekspresinya x / ln (x).

Kita dapat menggunakan hasil dari teorema bilangan prima untuk memecahkan masalah yang kita coba atasi. Kita tahu dengan teorema bilangan prima bahwa ada sekitar x / ln (x) bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan x. Selanjutnya ada total x bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan x. Oleh karena itu probabilitas bahwa nomor yang dipilih secara acak dalam kisaran ini adalah prima adalah (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Kita sekarang dapat menggunakan hasil ini untuk memperkirakan probabilitas memilih nomor utama secara acak dari yang pertama milyar bilangan bulat. Kami menghitung logaritma natural dari satu miliar dan melihat bahwa ln (1.000.000.000) adalah sekitar 20,7 dan 1 / ln (1.000.000.000) adalah sekitar 0,0483. Jadi kita memiliki probabilitas 4,83% untuk secara acak memilih bilangan prima dari miliar bilangan bulat pertama.