Bagaimana Kombinasi dan Permutasi Berbeda

Sepanjang matematika dan statistik, kita perlu tahu bagaimana cara menghitung. Ini terutama benar bagi sebagian orang kemungkinan masalah. Misalkan kita diberi total n objek yang berbeda dan ingin memilih r dari mereka. Ini menyentuh langsung pada bidang matematika yang dikenal sebagai kombinatorik, yang merupakan studi penghitungan. Dua cara utama untuk menghitung ini r benda dari n elemen disebut permutasi dan kombinasi. Konsep-konsep ini terkait erat satu sama lain dan mudah bingung.

Apa perbedaan antara kombinasi dan permutasi? Ide kuncinya adalah ketertiban. Permutasi memperhatikan urutan yang kita pilih objek kita. Seperangkat objek yang sama, tetapi diambil dalam urutan yang berbeda akan memberi kita permutasi yang berbeda. Dengan kombinasi, kami masih memilih r objek dari total n, tetapi pesanan tidak lagi dipertimbangkan.

Untuk membedakan antara ide-ide ini, kita akan mempertimbangkan contoh berikut: berapa banyak permutasi yang ada dari dua huruf dari himpunan {a, b, c}?

Di sini kita daftar semua pasangan elemen dari set yang diberikan, sambil memperhatikan pesanan. Ada total enam permutasi. Daftar semua ini adalah: ab, ba, bc, cb, ac dan ca. Perhatikan itu sebagai permutasi ab dan ba berbeda karena dalam satu kasus Sebuah dipilih pertama, dan yang lainnya Sebuah terpilih kedua.

Sekarang kita akan menjawab pertanyaan berikut: ada berapa kombinasi dari dua huruf dari himpunan {a, b, c}?

Karena kami berurusan dengan kombinasi, kami tidak lagi peduli dengan pesanan. Kita bisa menyelesaikan masalah ini dengan melihat kembali permutasi dan kemudian menghilangkan permutasi yang menyertakan huruf yang sama. Sebagai kombinasi, ab dan ba dianggap sama. Jadi hanya ada tiga kombinasi: ab, ac dan bc.

Untuk situasi yang kami temui dengan set yang lebih besar, terlalu memakan waktu untuk mencantumkan semua permutasi yang mungkin atau kombinasi dan menghitung hasil akhirnya. Untungnya, ada rumus yang memberi kita jumlah permutasi atau kombinasi dari n benda yang diambil r pada suatu waktu.

Dalam formula ini, kami menggunakan notasi steno dari n! dipanggil nfaktorial. Faktorial hanya mengatakan untuk mengalikan semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan n bersama. Jadi, misalnya, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Menurut definisi 0! = 1.

Jumlah permutasi dari n benda yang diambil r pada suatu waktu diberikan oleh rumus:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Jumlah kombinasi n benda yang diambil r pada suatu waktu diberikan oleh rumus:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Untuk melihat formula di tempat kerja, mari kita lihat contoh awal. Jumlah permutasi dari satu set tiga objek yang diambil dua sekaligus diberikan oleh P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Ini sama persis dengan yang kami dapatkan dengan mendaftar semua permutasi.

Jumlah kombinasi dari satu set tiga objek yang diambil dua sekaligus diberikan oleh:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Sekali lagi, ini sesuai persis dengan apa yang kita lihat sebelumnya.

Rumus pasti menghemat waktu ketika kita diminta untuk menemukan jumlah permutasi dari set yang lebih besar. Sebagai contoh, berapa banyak permutasi yang ada dari satu set sepuluh objek yang diambil tiga sekaligus? Butuh beberapa saat untuk mendaftar semua permutasi, tetapi dengan rumus, kita melihat bahwa akan ada:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutasi.

Apa perbedaan antara permutasi dan kombinasi? Intinya adalah bahwa dalam menghitung situasi yang melibatkan perintah, permutasi harus digunakan. Jika urutannya tidak penting, maka kombinasi harus digunakan.