Setelah melihat formula yang dicetak dalam buku teks atau ditulis di papan tulis oleh seorang guru, kadang-kadang mengejutkan untuk mengetahui bahwa banyak formula ini dapat diturunkan dari beberapa definisi mendasar dan pemikiran yang cermat. Ini terutama benar dalam probabilitas ketika memeriksa rumus untuk kombinasi. Derivasi formula ini benar-benar hanya bergantung pada prinsip multiplikasi.
Prinsip Multiplikasi
Misalkan ada tugas yang harus dilakukan dan tugas ini dipecah menjadi dua langkah. Langkah pertama bisa dilakukan di k cara dan langkah kedua bisa dilakukan di n cara. Ini berarti setelah itu mengalikan angka-angka ini bersama-sama, jumlah cara untuk melakukan tugas adalah nk.
Misalnya, jika Anda memiliki sepuluh jenis es krim untuk dipilih dan tiga topping yang berbeda, berapa banyak sendok, satu topping sundae yang dapat Anda buat? Kalikan tiga dengan 10 untuk mendapatkan 30 sundae.
Membentuk Permutasi
Sekarang, gunakan prinsip perkalian untuk memperoleh rumus untuk jumlah kombinasi
r elemen diambil dari satu set n elemen. Membiarkan P (n, r) menunjukkan jumlah permutasi dari r elemen dari satu set n dan C (n, r) menunjukkan jumlah kombinasi dari r elemen dari satu set n elemen.Pikirkan tentang apa yang terjadi ketika membentuk permutasi r elemen dari total n. Lihatlah ini sebagai proses dua langkah. Pertama, pilih satu set r elemen dari satu set n. Ini kombinasi dan ada C(n, r) cara untuk melakukan ini. Langkah kedua dalam proses ini adalah memesan r elemen dengan r pilihan untuk yang pertama, r - 1 pilihan untuk yang kedua, r - 2 untuk yang ketiga, 2 pilihan untuk kedua dari belakang, dan 1 untuk yang terakhir. Dengan prinsip penggandaan, ada r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! cara untuk melakukan ini. Formula ini ditulis dengan notasi faktorial.
Derivasi Formula
Untuk rekap, P(n,r ), sejumlah cara untuk membentuk permutasi r elemen dari total n ditentukan oleh:
- Membentuk kombinasi r elemen dari total n di salah satu dari C(n,r ) cara
- Memesan ini r elemen salah satu dari r! cara.
Dengan prinsip multiplikasi, jumlah cara untuk membentuk permutasi adalah P(n,r ) = C(n,r ) x r!.
Menggunakan rumus untuk permutasi P(n,r ) = n!/(n - r)!, yang dapat diganti dengan formula di atas:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Sekarang selesaikan ini, jumlah kombinasi, C(n,r ), dan lihat itu C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Seperti yang diperlihatkan, sedikit pemikiran dan aljabar dapat berjalan jauh. Rumus lain dalam probabilitas dan statistik juga dapat diturunkan dengan beberapa aplikasi definisi yang cermat.