Karakteristik Bilangan Nyata

Apa itu angka? Yah itu tergantung. Ada berbagai jenis angka, masing-masing dengan sifat khusus mereka sendiri. Satu jenis nomor, di atasnya statistik, probabilitas, dan banyak matematika didasarkan pada, disebut bilangan real.

Untuk mengetahui apa itu bilangan real, pertama-tama kita akan melakukan tur singkat tentang jenis bilangan lainnya.

Kami pertama-tama belajar tentang angka untuk menghitung. Kami mulai dengan mencocokkan angka 1, 2, dan 3 dengan jari-jari kami. Lalu kami dan terus berjalan setinggi mungkin, yang mungkin tidak setinggi itu. Angka-angka penghitungan atau angka alami ini adalah satu-satunya angka yang kita ketahui.

Kemudian, ketika berhadapan dengan pengurangan, negatif Seluruh angka diperkenalkan. Himpunan bilangan bulat positif dan negatif disebut himpunan bilangan bulat. Tak lama setelah ini, bilangan rasional, juga disebut pecahan dipertimbangkan. Karena setiap bilangan bulat dapat ditulis sebagai pecahan dengan 1 dalam penyebut, kami mengatakan bahwa bilangan bulat membentuk subset dari bilangan rasional.

Itu Yunani kuno menyadari bahwa tidak semua angka dapat dibentuk sebagai pecahan. Sebagai contoh, akar kuadrat dari 2 tidak dapat dinyatakan sebagai fraksi. Bilangan semacam ini disebut bilangan irasional. Bilangan irasional berlimpah, dan agak mengejutkan dalam arti tertentu ada bilangan irasional lebih dari bilangan rasional. Bilangan irasional lainnya termasuk pi dan e.

Setiap bilangan real dapat ditulis sebagai desimal. Berbagai jenis bilangan real memiliki ekspansi desimal yang berbeda pula. Ekspansi desimal bilangan rasional diakhiri, seperti 2, 3.25, atau 1.2342, atau berulang, seperti .33333.. . Atau .123123123.. . Berbeda dengan ini, ekspansi desimal dari bilangan irasional adalah nonterminating dan nonrepeating. Kita bisa melihat ini dalam ekspansi desimal pi. Tidak ada string angka untuk pi yang tidak pernah berakhir, dan terlebih lagi, tidak ada string angka yang berulang tanpa batas.

Bilangan real dapat divisualisasikan dengan menghubungkan masing-masing dari mereka ke salah satu dari jumlah poin tak terbatas di sepanjang garis lurus. Bilangan real memiliki urutan, yang berarti bahwa untuk dua bilangan real yang berbeda kita dapat mengatakan bahwa satu lebih besar dari yang lain. Dengan konvensi, bergerak ke kiri di sepanjang garis bilangan real sesuai dengan angka yang lebih rendah dan lebih rendah. Pindah ke kanan di sepanjang garis bilangan asli sesuai dengan angka yang lebih besar dan lebih besar.

Bilangan real berperilaku seperti angka lain yang biasa kita hadapi. Kita dapat menambah, mengurangi, mengalikan dan membaginya (selama kita tidak membaginya dengan nol). Urutan penambahan dan perkalian tidak penting, karena ada properti komutatif. Properti distributif memberi tahu kita bagaimana multiplikasi dan penambahan berinteraksi satu sama lain.

Seperti disebutkan sebelumnya, bilangan real memiliki pesanan. Diberi dua bilangan real x dan y, kita tahu bahwa satu dan hanya satu dari yang berikut ini yang benar:

x = y, x < y atau x > y.

Properti yang membedakan bilangan real dari kumpulan angka lainnya, seperti rasional, adalah properti yang dikenal sebagai kelengkapan. Kelengkapan agak teknis untuk dijelaskan, tetapi gagasan intuitif adalah bahwa himpunan bilangan rasional memiliki celah di dalamnya. Himpunan bilangan real tidak memiliki celah, karena lengkap.

Sebagai ilustrasi, kita akan melihat urutan bilangan rasional 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Setiap istilah dari urutan ini adalah perkiraan untuk pi, diperoleh dengan memotong ekspansi desimal untuk pi. Persyaratan urutan ini semakin dekat dan lebih dekat ke pi. Namun, seperti yang telah kami sebutkan, pi bukan angka yang rasional. Kita perlu menggunakan bilangan irasional untuk memasukkan lubang-lubang garis bilangan yang terjadi dengan hanya mempertimbangkan bilangan rasional.

Seharusnya tidak mengherankan bahwa ada bilangan real jumlah tak terbatas. Ini dapat dilihat dengan cukup mudah ketika kita menganggap bahwa bilangan bulat membentuk subset dari bilangan real. Kita juga bisa melihat ini dengan menyadari bahwa garis bilangan memiliki jumlah poin yang tak terbatas.

Apa yang mengejutkan adalah bahwa infinity yang digunakan untuk menghitung bilangan real adalah jenis yang berbeda dari infinity yang digunakan untuk menghitung bilangan bulat. Bilangan bulat, bilangan bulat dan rasional jumlahnya tak terbatas. Himpunan bilangan real tidak terhingga tak terhingga.

Bilangan real mendapatkan nama mereka untuk membedakan mereka dari generalisasi lebih jauh ke konsep bilangan. Angka imajiner saya didefinisikan sebagai akar kuadrat dari yang negatif. Setiap bilangan real dikalikan dengan saya juga dikenal sebagai angka imajiner. Angka imajiner jelas meregangkan konsepsi kita tentang angka, karena angka-angka itu sama sekali tidak seperti yang kita pikirkan ketika pertama kali kita belajar berhitung.