Ketidaksamaan Chebyshev dalam Probabilitas

Ketidaksetaraan Chebyshev mengatakan bahwa setidaknya 1-1 /K² data dari sampel harus termasuk dalam K standar deviasi dari mean (di sini K positif bilangan real lebih besar dari satu).

Kumpulan data apa pun yang terdistribusi normal, atau dalam bentuk a kurva lonceng, memiliki beberapa fitur. Salah satunya berkaitan dengan penyebaran data relatif terhadap jumlah standar deviasi dari rata-rata. Dalam distribusi normal, kita tahu bahwa 68% dari data adalah satu standar deviasi dari rata-rata, 95% adalah dua standar deviasi dari rata-rata, dan sekitar 99% berada dalam tiga standar deviasi dari rata-rata.

Tetapi jika kumpulan data tidak didistribusikan dalam bentuk kurva lonceng, maka jumlah yang berbeda bisa berada dalam satu standar deviasi. Ketidaksetaraan Chebyshev menyediakan cara untuk mengetahui fraksi data apa yang termasuk di dalamnya K standar deviasi dari mean untuk apa saja Himpunan data.

Kami juga dapat menyatakan ketidaksetaraan di atas dengan mengganti frase "data dari sampel" dengan

Penting untuk dicatat bahwa ketidaksetaraan ini adalah hasil yang telah dibuktikan secara matematis. Tidak seperti hubungan empiris antara mean dan mode, atau aturan praktis yang menghubungkan rentang dan standar deviasi.

Untuk mengilustrasikan ketidaksetaraan, kita akan melihatnya untuk beberapa nilai K:

• Untuk K = 2 kita memiliki 1 - 1 /K² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Jadi ketidaksetaraan Chebyshev mengatakan bahwa setidaknya 75% dari nilai data dari distribusi apa pun harus dalam dua standar deviasi dari mean.
• Untuk K = 3 kita memiliki 1 - 1 /K² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Jadi ketidaksetaraan Chebyshev mengatakan bahwa setidaknya 89% dari nilai data dari distribusi apa pun harus dalam tiga standar deviasi dari rata-rata.
• Untuk K = 4 kita memiliki 1 - 1 /K² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Jadi ketidaksetaraan Chebyshev mengatakan bahwa setidaknya 93,75% dari nilai data dari distribusi apa pun harus dalam dua standar deviasi dari mean.

Misalkan kita telah mencicipi bobot anjing di penampungan hewan lokal dan menemukan bahwa sampel kita memiliki rata-rata 20 pound dengan standar deviasi 3 pound. Dengan menggunakan ketimpangan Chebyshev, kami tahu bahwa setidaknya 75% dari anjing yang kami sampel memiliki bobot yang merupakan dua standar deviasi dari nilai tengah. Dua kali standar deviasi memberi kita 2 x 3 = 6. Kurangi dan tambahkan ini dari rata-rata 20. Ini memberi tahu kita bahwa 75% anjing memiliki berat mulai 14 pon hingga 26 pon.

Jika kami mengetahui lebih banyak tentang distribusi yang kami kerjakan, maka kami biasanya dapat menjamin bahwa lebih banyak data adalah sejumlah standar deviasi yang jauh dari rata-rata. Misalnya, jika kita tahu bahwa kita memiliki distribusi normal, maka 95% data adalah dua standar deviasi dari rata-rata. Ketidaksetaraan Chebyshev mengatakan bahwa dalam situasi ini kita tahu itu setidaknya 75% dari data adalah dua standar deviasi dari rata-rata. Seperti yang dapat kita lihat dalam kasus ini, bisa jadi lebih dari 75% ini.

Nilai dari ketidaksetaraan adalah bahwa ia memberi kita skenario "kasus yang lebih buruk" di mana satu-satunya hal yang kita ketahui tentang data sampel kita (atau distribusi probabilitas) adalah mean dan standar deviasi. Ketika kami tidak mengetahui apa pun tentang data kami, ketidaksetaraan Chebyshev memberikan beberapa wawasan tambahan tentang bagaimana penyebaran set data.

Ketidaksetaraan ini dinamai berdasarkan matematikawan Rusia Pafnuty Chebyshev, yang pertama kali menyatakan ketimpangan tanpa bukti pada tahun 1874. Sepuluh tahun kemudian ketidaksetaraan dibuktikan oleh Markov dalam gelar Ph. D. disertasi. Karena variasi dalam cara mewakili alfabet Rusia dalam bahasa Inggris, Chebyshev juga dieja sebagai Tchebysheff.