Apakah Paradoks St. Petersburg itu?

Anda berada di jalan-jalan St. Petersburg, Rusia, dan seorang lelaki tua mengusulkan permainan berikut. Ia membalik koin (dan akan meminjam salah satu milik Anda jika Anda tidak percaya bahwa koin itu adil). Jika mendarat, maka Anda kalah dan permainan berakhir. Jika koin mendarat, maka Anda memenangkan satu rubel dan permainan berlanjut. Koin dilemparkan lagi. Jika berbuntut, maka permainan berakhir. Jika itu adalah kepala, maka Anda memenangkan dua rubel tambahan. Permainan berlanjut dengan cara ini. Untuk setiap kepala yang berurutan, kami menggandakan kemenangan kami dari babak sebelumnya, tetapi pada tanda dari ekor pertama, permainan dilakukan.

Berapa banyak yang akan Anda bayarkan untuk memainkan game ini? Ketika kita mempertimbangkan nilai yang diharapkan permainan ini, Anda harus melompat pada kesempatan itu, tidak peduli berapa biaya untuk bermain. Namun, dari uraian di atas, Anda mungkin tidak mau membayar banyak. Bagaimanapun, ada kemungkinan 50% untuk tidak memenangkan apapun. Ini adalah apa yang dikenal sebagai Paradox St. Petersburg, dinamai karena publikasi 1738 Daniel Bernoulli

Mari kita mulai dengan menghitung probabilitas terkait dengan game ini. Probabilitas bahwa koin yang adil mendarat adalah 1/2. Setiap lemparan koin adalah peristiwa independen dan karenanya kami melipatgandakan kemungkinan dengan menggunakan a diagram pohon.

• Probabilitas dua kepala berturut-turut adalah (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Probabilitas tiga kepala berturut-turut adalah (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Untuk mengekspresikan probabilitas n kepala berturut-turut, di mana n adalah bilangan bulat positif yang kita gunakan eksponen untuk menulis 1/2ⁿ.

Sekarang mari kita lanjutkan dan lihat apakah kita bisa menggeneralisasi apa yang akan menjadi kemenangan di setiap putaran.

• Jika Anda memiliki kepala di babak pertama, Anda memenangkan satu rubel untuk putaran itu.
• Jika ada kepala di babak kedua Anda memenangkan dua rubel di babak itu.
• Jika ada kepala di babak ketiga, maka Anda memenangkan empat rubel di babak itu.
• Jika Anda cukup beruntung untuk sampai ke sana n^th ronde, maka Anda akan menang 2^n-1 rubel di babak itu.

Nilai yang diharapkan dari sebuah game memberi tahu kami berapa rata-rata kemenangannya jika Anda memainkan game itu berkali-kali. Untuk menghitung nilai yang diharapkan, kami mengalikan nilai kemenangan dari setiap putaran dengan probabilitas mencapai babak ini, dan kemudian menambahkan semua produk ini bersama-sama.

• Dari babak pertama, Anda memiliki probabilitas 1/2 dan kemenangan 1 rubel: 1/2 x 1 = 1/2
• Dari babak kedua, Anda memiliki probabilitas 1/4 dan kemenangan 2 rubel: 1/4 x 2 = 1/2
• Dari babak pertama, Anda memiliki probabilitas 1/8 dan kemenangan 4 rubel: 1/8 x 4 = 1/2
• Dari babak pertama, Anda memiliki probabilitas 1/16 dan kemenangan 8 rubel: 1/16 x 8 = 1/2
• Dari babak pertama, Anda memiliki probabilitas 1/2ⁿ dan kemenangan 2^n-1 rubel: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Nilai dari setiap babak adalah 1/2, dan menambahkan hasil dari yang pertama n putaran bersama memberi kita nilai yang diharapkan dari n/ 2 rubel. Sejak n dapat berupa bilangan bulat positif, nilai yang diharapkan tidak terbatas.

Jadi apa yang harus Anda bayar untuk bermain? Satu rubel, seribu rubel atau bahkan satu milyar rubel semua, dalam jangka panjang, akan kurang dari nilai yang diharapkan. Meskipun perhitungan di atas menjanjikan kekayaan yang tak terhitung, kita semua masih enggan membayar sangat banyak untuk bermain.

Ada banyak cara untuk menyelesaikan paradoks. Salah satu cara yang lebih sederhana adalah tidak ada yang akan menawarkan permainan seperti yang dijelaskan di atas. Tidak ada yang memiliki sumber daya tak terbatas yang diperlukan untuk membayar seseorang yang terus membalik kepala.

Cara lain untuk menyelesaikan paradoks melibatkan menunjukkan betapa mustahilnya mendapatkan sekitar 20 kepala berturut-turut. Itu peluang ini terjadi lebih baik daripada memenangkan sebagian besar negara lotere. Orang-orang secara rutin memainkan lotere seperti itu dengan harga lima dolar atau kurang. Jadi harga untuk memainkan permainan St. Petersburg mungkin tidak boleh melebihi beberapa dolar.

Jika pria itu masuk St. Petersburg mengatakan bahwa biayanya lebih dari beberapa rubel untuk memainkan permainannya, Anda harus dengan sopan menolak dan berjalan pergi. Rubel tidak bernilai banyak.